圆锥曲线中一类斜率关系题

点赞:25523 浏览:118169 近期更新时间:2024-02-18 作者:网友分享原创网站原创

在最近一段时间的复习中,经常遇到圆锥曲线中一类斜率关系题,从同学们答题的情况看,掌握的不理想,下面,我们通过四道典型问题一起来集中突破.

(注:每题第(1)问请同学们自行求解.)

例1. 已知抛物线C:y等于ax2过点P(4,4).

(I)求实数a的值;

(II)设点A,B在抛物线C上,直线PA,PB的斜率分别为K1,k2,且k2-k1等于1,若△AOP的面积是△AOB的面积的2倍(O为坐标原点),求直线PA的方程.

解析: (I)a等于.

(II)在改卷中,我们发现同学们知道是根据面积关系建立等式,但如何把斜率关系用起来却成为了问题.其实,斜率关系可以直接用,也可以简接用.

直接用:要求直线PA方程,还缺其斜率k1,故我们可以通过联立方程求交点,并通过两斜率的关系统一化为同一变量k1,再将面积关系转化出等式求解k1.

联立直线PA与抛物线C方程y等于k1(x-4)+4,y等于x2,得x2-4k1x+16k1-16等于0,

解得x等于4或x等于4k1-4,所以点A的坐标为(4k1-4,4(k1-1)2),

同理,点B的坐标为(4k2-4,4(k2-1)2),因为k2等于k1+1,所以B(4k1,4k12).

于是可得直线OA方程为y等于(k1-1)x,从而由点到直线的距离公式得,点P到直线OA的距离d1等于,点B到直线OA的距离d2等于.

根据△AOP的面积是△AOB的面积的2倍,知d1等于2d2,故│k1-2│等于2│k1│,

解得k1等于-2或k1等于,所以直线PA的方程为2x+y-12等于0或2x-3y+4等于0.

间接用:要求直线PA方程,还可以通过求A点坐标(x1,x12).可以通过k1、k2斜率关系和面积关系求解x1.

设A(x1,x12),B(x2,x22),则k1等于等于(x1+4),

同理k2等于(x2+4),所以由k2-k1等于1可得x2-x1等于4.

因为直线OA方程为y等于x1x,即x1x-4y等于0,所以点P到直线OA的距离d1等于,

同理点B到直线OA的距离d2等于等于等于.

根据△AOP的面积是△AOB的面积的2倍知d1等于2d2 ,即│x1-4│等于2│x1+4│,

解得x1等于-12或x1等于-,从而k1等于-2或k1等于,

所以直线PA的方程为2x+y-12等于0或2x-3y+4等于0.

例2. 已知椭圆C:+等于1(a>b>0)的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形.

(1)求椭圆C的方程;

(2)过点Q(1,0)的直线线l与椭圆C相交于A,B两点.点P(4,3)),记直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,当k1,k2最大时,求直线线l的方程.

解析:(1)+等于1.

(2)该题有大部分同学对第(2)问无法入手解答,还有一部分在得到k1,k2表达式后不能再求解下去了.其实,该题还是可以通过直线与圆锥曲线相交问题的常规解法做下去的.

①当直线l斜率不存在时,方程为x等于1,得A(1,),B(1,-),所以可得k1k2等于.

②设直线l斜率为k,联立直线与椭圆方程y等于k(x-1),+等于1,

得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4等于0,设A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1+x2等于,x1x2等于,所以y1+y2等于k(x1+x2-2)等于

,y1+y2等于k2(x1-1)(x2-1)等于.

所以k1k2等于等于等于.

接下去就是求y等于的最大值,一般有以下几种方法.

解法1:(基本不等式法)y等于等于+等于+≤+

等于1,当且仅当2k->0且(2k-)等于,即k等于1时取等号.

注意:该解法中取不等式时要注意2k->0,否则就不符合使用基本不等式的条件.

解法2:(导数法)y′等于等于,

所以函数y等于在(-∞,-)递减,(-,1)递增,(1,+∞)递减.

至此,同学们不免产生疑问:函数不存在最大值啊?

其实,这也是导数法中必须要解决的问题,事实上,对于函数y等于来讲,不管k是趋向于+∞还是k趋向于-∞,y均趋向于,而因为k等于1时y等于1,故最大值为y等于1.

解法3:(值域法)一般地,如果函数的值域知道了,则函数的最值就也知道了.所以我们可以用△判别法来求y等于的值域.

化简整理得(6y-5)k2-2k+4y-3等于0()

①6y-5等于0即y等于时,k等于,符合;

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②6y-5≠0时,方程()有解,所以判别式△等于4-4(6y-5)(4y-3)≥0,

解得≤y≤1,故≤y≤1且y≠.所以≤y≤1,

因此最大值为y等于1,由1等于解得k等于1.

解法4:(特殊法)y等于等于1-≤1,当k等于1时取等号.

对于上述四种解法,建议同学们着重掌握解法2、解法3,尤其是解法2,具有可操作性,易理解,而解法1技巧性比较强,属于“听得懂,难操作”,解法4“凑巧”成份大.

例3. 已知中心在原2点O,焦点在x轴上,离心率为的椭圆过点(,).

(1)求椭圆的方程;

(2)设不过原点O的直线l与该椭圆交于P、Q两点,满足直线OP,PQ,OQ,的斜率依次成等比数列,求△OPQ面积的取值范围.

解析:(1)+y2等于1.

(2)在老师苦口婆心的多次讲解下,同学们应该都会这样做: 设直线l方程y等于kx+m(m≠0),通过联立椭圆方程消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4等于0,

判别式△等于64k2m2-4(1+4k2)(4m2-4)>0,得1+4k2>m2,


设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2等于,x1x2等于,│PQ│等于│x1-x2│等于.

至此后,后面可能就会觉得无从下手,其实,我们只要根据斜率关系建立等式就能看到“曙光”.

因为k2等于,而y1y2等于(kx1+m)(kx2+m)等于k2x1x2+km(x1+x2)+m2等于,

所以k2等于,解得k2等于,

故│PQ│等于,且原点O到直l线的距离d等于等于,所以S△OPQ等于等于│m│.

到此,如何求S△OPQ面积的取值范围呢?可以看成是关于m2的一元二次问题:S△OPQ等于,所以0

这个答案还是有问题的!因为前面在得到1+4k2>m2、k2等于、k2等于后,我们可以得到0

例4. 椭圆T的中心为坐标原点O,右焦点为F(2,0),且椭圆T过点E(2,).△ABC的三个顶点都在椭圆T上,设三条边的中点分别为M,N,P.

(1)求椭圆T的方程;

(2)设△ABC的三条边所在直线的斜率分别为k1,k2,k3,且k1≠0,i等于1,2,3. 若直线OM,ON,OP的斜率之和为0,求证:++为定值.

解析:(1)+等于1.

(2)阅读完该问时,同学们可能会觉得无从下手,但若我们能想起本题的命题背景:直线与椭圆相交,则该直线斜率与相交线段中点与原点的连线斜率之积为常数,则该题的解决就容易了.

设斜率为k的直线l与椭圆+等于1(a>b>0)相交于A、B两点,线段AB中点M与原点O的连线斜率为k1,则kk1等于-.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则+等于1,+等于1,

得+等于0,则等于-,即kk1等于-.

因此,对于本题kOMk1等于-,等于-2kOM,

同理可得等于-2kON,等于-2kOP,所以++等于-2(kON+kOM+kOP)等于0为常数.

实际上,++等于-(k1′+k2′+k3′),++等于-(k1+k2+k3),即只要其中某一类的斜率之和为常数,则另一类的斜率倒数之和必也为常数,并且不难发现还可以推广到有限情况和双曲线中.

综上所述,希望通过本文四道圆锥曲线中斜率关系题的分析,对同学们突破该类题型有所帮助.

(作者单位:浙江绍兴县越崎中学)

责任编校 徐国坚