与旋转有关的中考求值题

旋转是一种重要的图形变换方式,同时也是新课标新增的内容.中考试题中的旋转问题除了常规的几何证明题、计算题外,与旋转有关的求值问题一直是处于主导地位的.下面让我们一起走进2011年的中考大舞台,一睹旋转求值问题的“风采”.

一、求旋转角

例1 （2011年浙江舟山）如图1,点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上,若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转得到的,则旋转的角度为（ ）.

解析：观察图形,点B与点D是一对对应点,点A与点C是一对对应点,因此旋转角是∠BOD或∠AOC.容易看出∠BOD等于90°,即旋转的角度为90°,故选C.

点评：由于对应点与旋转中心连线构成的夹角等于旋转角,因此,在找旋转角时,应先找到对应点.另外,虽然∠BOD或∠AOC都是旋转角,但求∠BOD更为简便.所以应尽量选取容易求解的旋转角.

例2 （2011年江苏南京）如图2-1,E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点,BE等于CF,连接AE、BF,将△ABE绕正方形的中心按逆时针方向旋转到△BCF,旋转角为α

（0°<α<180°）,则∠α= .

解析：观察图形,点A与点B是一对对应点,点B与点C是一对对应点,因此线段AB与线段BC的垂直平分线的交点,即正方形ABCD的中心为旋转中心.设旋转中心为点O,如图2-2所示,则∠AOB或∠BOC都是旋转角,且等于90°,即∠α等于90°.

点评：本题的难点是确定旋转角.先找到对应点,进而根据“任意一对对应点连线的垂直平分线经过旋转中心”确定旋转中心,最后根据“对应点与旋转中心连线构成的夹角等于旋转角”确定旋转角.

二、求旋转路径长

例3 （2011年福建泉州）如图3,如果边长为1的正六边形ABCDEF绕着顶点A顺时针旋转60°后与正六边形AGHMNP重合,那么点B的对应点是点 ,点E在整个旋转过程中所经过的路径长为 （结果保留π）.

点E在整个旋转过程中绕点A顺时针旋转60°,其经过的路径是一段以点A为圆心,AE为半径,圆心角为60°的扇形的圆弧长.即2π××等于π.

点评：解答本题首先要搞清楚点E旋转的路径是一段圆弧,然后求出圆弧所在的半径长.至于点E旋转后与哪个点重合（即点E的对应点）无须知晓.

三、求线段扫过的面积

例4 （2011年江苏泰州）如图4,△ABC的三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上,将△ABC绕点B顺时针旋转到△A′BC′的位置,且点A、C仍落在格点上,则线段AB扫过的图形的面积是 平方单位（结果保留π）.

解析：观察图形,线段AB扫过的图形是一个扇形,其中该扇形的半径为AB,圆心角∠ABA′等于∠CBC′等于90°.

点评：解答本题首先仍然需要搞清楚线段AB扫过的图形是一个扇形.另外在计算扇形的面积时,无须求出扇形的半径,而是利用勾股定理直接求出半径的平方,这是因为AB是非必求成份,这样做可以省时省力,提高解题效率.

四、求与旋转有关的阴影部分的面积

例5 （2011年四川成都）如图5,在Rt△ABC

中,∠ACB等于90°,AC等于BC等于1,将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE,点B经过的路径为BD,则图中阴影部分的面积是 .

解析：观察图形,阴影部分的面积等于扇形ABD的面积加上Rt△ADE的面积再减去Rt△ABC的面积.

由旋转的性质知Rt△ABC≌Rt△ADE,所以Rt△ABC的面积等于Rt△ADE的面积,于是阴影部分的面积等于扇形ABD的面积.

点评：在求扇形的面积时,仍然无须求出扇形的半径.另外解答本题时用到了旋转的性质“旋转前后的图形全等”.

例6 （2011年四川成都）如图6,在Rt△ABC

中,∠ACB等于90°,∠A等于30°,BC等于2,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后,得到△EDC.此时,点D在AB边上,斜边DE交AC边于点F,则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（ ）.

点评：本题除了运用旋转的性质外,还用到了等边三角形的判定、直角三角形中“30°的角所对的直角边等于斜边的一半”的性质和勾股定理等,具有一定的综合性.