第一类:集合
集合的含义
(★★★)必做1 给出如下定义:若平面点集A中的任意一个点(x0,y0),总存在正实数r,使得集合(x,y)
①{(x,y) x2+y2等于1};② {(x,y) x+y+2>0};③{(x,y)x+y ≤6};④ {(x,y) 0 [牛刀小试] 精妙解法 画图进行判断: 对于①(如图1),显然不存在一个面集点集,该集合不符合题目要求. 对于②(如图2),显然存在面集面集,该集合符合题目要求. 对于③(如图3), 在边界上的(x0,y0),怎么取也难以得到符合题目要求的圆,所以该集合不符合. 对于④(如图4),显然存在面集面集,该集合符合题目要求. 所以综合上面的分析得答案为②④. (★★★)必做2 点集{(x,y) x -1 + y 等于2}的图形是一条封闭的折线,这条封闭折线所围成的区域的面积是( ) A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 [牛刀小试] 精妙解法 x -1 + y 等于2可化为 y 等于2- x -1 ,即 y等于 x -1 -2,y<0, 2- x -1 ,y≥0.根据曲线 y 等于2- x -1 的对称性可以作出图象的变换,即由y等于 x 的曲线向下平移一个单位,得y等于 x -1,再将y轴下方的图象对折到x轴的上方,可得y等于 x -1 ,关于x轴对称可得y等于- x -1 ,再向上平移两个单位可得y等于2- x -1 ,最后可得 y 等于2- x -1 的图象如图5所示,其面积为4× ×(1+2)×1+ ×2×2等于14,故应选A. 集合的运算 (★★★)必做3 定义集合运算:AB等于{zz等于xy(x+y),x∈A,y∈B},设集合A等于{0,1},B等于{2,3},则集合AB的所有元素之和为( ) A. 0 B. 6 C. 12 D. 18 [牛刀小试] 精妙解法 根据定义可得z的取值为:当x等于0,y等于2或3时,z均为0;当x等于1,y等于2时,z等于6;当x等于1,y等于3时,z等于12,所以AB等于{0,6,12},则其所有元素之和为18. (★★★)必做4 设A,B是非空集合,定义A×B等于{x|x∈A∪B且xA∩B}. 已知A等于{x y等于},B等于{y y等于2x,x>0},则A×B等于( ) A. [0,1]∪(2,+∞) B. [0,1]∪[2,+∞) C. [0,1] D. [0,2] [牛刀小试] 精妙解法 因为A等于[0,2],B等于(1,+∞),所以A×B等于{x x∈A∪B且xA∩B}等于[0,1]∪(2,+∞).故选A. 第二类:函数 函数的性质 (★★★)必做1 设函数f(x)的定义域为R,若存在常数M>0,使 f(x) ≤M x 对一切实数x均成立,则称f(x)为“倍约束函数”. 现给出下列函数:①f(x)等于2x;②f(x)等于x2+1;③f(x)等于sinx+cosx;④f(x)等于. 其中是“倍约束函数”的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 [牛刀小试] 精妙解法 ①f(x)等于2x显然存在M符合题目要求,所以它是“倍约束函数”. ②当x等于0时, f(0)等于1,此时不可能存在M符合题目要求,所以f(x)等于x2+1不是“倍约束函数”.
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