一道中考压轴题解题方法的课堂探究

【摘 要 】作为一名初中数学教师,解题能力是衡量教师教学水平的一个标准.今年笔者再次执教初三,为了提高自己的解题能力,跟上目前中考数学的形势,于是了解了这几年来的中考压轴题,特别是浙江省金华市2011年中考的最后一题引起了笔者的注意,并以此题入手,做了一些尝试,并在今年第二轮复习的时候,把这道题目作为主要内容上了一次公开课,得到不错的反响.特此把整个教学与思考的过程与同行们一起探讨.

【关 键 词 】压轴题；探究；改编

1.教学过程

教师：各名同学,今天我们来进行第二轮的专题复习,重点讲一个题目,大家拿到发下来的试题,思考8分钟.

原题再现（删除原第1,2两小题）如图,半圆C在坐标系中,P为圆上（除了A,O外）的一点,连接AP并延长使得AP等于PB,连接OP,过点B作x轴的垂线,与直线OP交于点D,与x轴交于点G.若△CDG∽△AOP,并且直径的长度为10,求点G的坐标.

（8分钟过后）

教师：思考了8分钟,你们有些什么思路吗?

学生甲：我发现有几种情况.

教师：那请问有几种情况?

学生甲：3种.

教师：把你在试题纸上画的内容给我们呈现一下.

学生甲画出了3种情况：

教师：不错,想得很周到.可是你会算吗?

学生甲：我算了其中的两种情况,分别是图2和图3.

教师：我们来呈现以下你所做的过程.

（1）根据图2和图3,发现点G在线段OC上有两种情况,而且两种情况均成立.

解 如图2,设CG等于x,

△OCD∽△OAPCD等于1[]2AP等于1[]4ABCG等于1[]4AGx[]x+5等于1[]4x等于5[]3G10[]3,0.

如图3,△CDG∽△OPA若G为OC中点,则△OGD≌△CGDOG等于CGG5[]2,0.

教师：真不错.不过还有一种呢?

学生甲：算不出,也想不到思路.

这时学生乙说了.

学生乙：其实我发觉,图1的算法和图2的算法有些类似,肯定是利用相似三角形来转化,然后再利用方程解决的.

教师：你的猜想很对,那么有没有哪名同学可以把相似三角形进行转化呢?

学生丙：我觉得可以添加辅助线.

教师：很好,请问添在哪里?

学生丙：连接GP.

教师：你很棒,那么你能算吗?

这时班级陷入了一片沉默.

笔者只好再进行干预.

教师：辅助线添对了,我们接下来需要做的是把相似三角形成比例的边都转化到一条边上.

有学生举手了.

学生丁：转化到x轴上.

教师：太好了.大家试试.

经过几分钟的思考计算,终于有同学完成了这种情况.呈现结果如下.

图 1（2）根据图1,点G在线段CA上有两种情况.

①∠CDG等于∠POA.②∠DCG等于∠POA.第一种情况成立.第二种情况不成立,因为∠DCG等于∠POA+∠ODC>∠POA,无法相似.

检测设CG等于x,连接GP.

△CDG∽△AOP∽△ABGCD[]AB等于CG[]AG.

又 CD∥GP△OCD∽△OGPCD[]PG等于OC[]OGCD[]0.5AB等于OC[]OGCD[]AB等于OC[]2OGCD[]AB等于CG[]AG等于OC[]2OGx[]5-x等于5[]2（5+x）2x2+15x-25等于0x1,2等于-15±517[]4x等于-15+517[]4G5+517[]4,0.

教师：到这里为止,大家都做得很好.那么我想问：就三种情况吗,有没有别的情况了?或者再仔细读一下题目.

学生甲：题目中说与直线OP相交,所以我刚才还少画一种情况.

教师：对,这次你思考得很全面,请你呈现.

图4① 图4②

教师：完全正确,那么你能算吗?

经过大约6分钟之后,下课铃声响了,笔者只好终止了课堂,把这种情况作为课外作业进行思考.课后笔者再次思考了这道题目,得到了一些新的想法.先附上最后一种情况的解法.

（3）根据图4,点G在直线AO的延长线上有两种情况.①∠CDG等于∠POA.②∠DCG等于∠POA.第一种情况成立.第二种情况不成立,因为∠POA等于∠DCG+∠CDO>∠DCG,无法相似.

检测设CG等于x,连接GP.

△CDG∽△AOP∽△ABGCD[]AB等于CG[]AG.

又 ∵CD∥GP△OCD∽△OGPCD[]PG等于CO[]GOCD[]0.5AB等于CO[]GOCG[]AG等于CO[]2GO5+x[]10+x等于5[]2x2x2+15x-50等于0x1,2等于-5±517[]4x等于-5+517[]4G5-517[]4,0.

∴综上所述,共有4个点,分别是

G15+517[]4,0,G210[]3,0,G35[]2,0,G45-517[]4,0.

虽然这道题目利用了一节课的时间也没能完成,但笔者也得到了许多的奇思妙想,比如有一名学生说是否可以检测设某个角,然后用三角函数来表示边呢?笔者认为很有道理.

2.问题背景

该题从题型来看,属于近年来中考中常出现的动点问题.从考查的内容来看,涵盖了圆的基本性质、相似三角形、方程、坐标系、中位线等知识点.从问题的难度设定来看,体现了从容易到难的跨越.从题目所蕴含的思想性来看,包含了方程、数形结合、转化的数学思想.从学生接受的角度来看,这道题目所用的知识都是学生已经学习过的知识.

该题的动点情况用画图表示比较容易,但是列出方程计算很难,是一道门槛低、出口宽、方法多、完成时间紧、难度高的好题.据了解整个浙江省金华市中考的情况高分不多.显然都是因为看到有那么多种情况先把自己吓怕了,再加上做到这道题目的时候已经是考试的后半程,时间的压力大增,因为很多学生无法在这纷繁芜杂的6个相似三角形中找出合适的相似三角形来参与计算,所以这对于学生的数学能力有着很高的要求.

3.合理简化,变式运用

这道题目在笔者给学生上公开课的时候虽然碰到了阻碍,但是不得不说是一道好题,教师在给学生做类似这类题目的时候要耐心引导,不可操之过急,最开始给学生思考8～10分钟,反而是有助于学生得到一些结果的,急忙提问学生只会没有头绪.有部分同学可以完成两种情况应该说是很不错的结果了.这堂课结束后笔者一直在思考,应该把这道题简化一下,让更多的学生从这道题目中受益,这才是符合考题人的真正的诉求.

【参考文献】

[1]何小亚.中学数学教学设计案例精选.科学出版社,2011.

[2]熊斌,冯志刚.奥数精讲与测试（九年级）.学林出版社,2008.

[3]刘凤桢.由一道中考压轴题引起的探究之旅——利用光学性质解决动点在曲线上的最值问题[J].中小学数学,2011（11）.

[4]肖世兵.一道运动问题的命制过程与思考[J].中小学数学,2011（12）.

[5]义务教育课程标准实验教科书九年级《数学》（上、下）.浙江教育出版社,2006.