学生通过计算推导数学规律题的策略

【关 键 词 】数学计算 数学规律 推导

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2015）04A-

0076-02

数学规律题的逻辑性、抽象性很强,学生解答时要具备较强的识记能力和理解能力,具备一定的分析推理能力.教师应根据初中生的心理特征、知识基础、认知结构等实际,结合题意,合理设问质疑,引导学生从最熟悉的计算切入,激励和唤醒学生的积极思维,启发学生通过观察、分析、猜想、尝试、计算、推理、归纳等过程,严谨地推导数学规律题,让每个学生跳一跳都能摘到“果子”.“题”让学生自己解,“法”让学生自己探,通过尝试计算找到规律,创造性地应用所学知识.

教学时,教师应启发七年级新生从熟悉的知识了解规律题,尝试计算推导数学规律题,掌握要领.首先,营造一个轻松的学习氛围,由易到难、循序渐进、逐步深入,引导学生积极参与到学习中.其次,用小学的规律题举例填空,体验成功的快乐,提高学习的兴趣.最后,引伸到用字母表示数的规律题,使教师想说的结论由学生亲口说出来,教师的想法在学生的头脑中显现出来,掌握答题要领.

例1,填空：2,4,6,8,10 ,14；学生脱口而出：“填12.”笔者顺势由此题变形为以下的题目：

例2,有一数列为：2,4,6,8,10,12,14等第20个数为 ；第100个数为 ；第n个数为 .通过设问启发学生理解题意,如问“12”是第几个数?学生很容易找到“12”是第6个数.再问“12”是怎样算出来的?有几种算法?学生积极思考,答案并不唯一.如：10+2等于12、14-2等于12、2+2×5等于12、2×6等于12等.承前启后,激励学生类比例1算法推导例2.学生通过独立思考,解得第20个数为“40”,并归纳出用到第20个数中的“20”,即20×2等于40这个算法快,乘胜追击第100个数为200,第n个数为2n.引导学生总结归纳,综合列表如下：

这样列表,学生一目了然,理解“位置数”,并知道可以用“位置数”参与表示对应项的值,计算方式不变,体验如何尝试计算推导规律题的全过程,让旧知迅速正迁移到规律题.

七年级学生多加练习,积累数感,可以尝试计算,列出如例2的表格,解出规律题.而启发八、九年级的学生,则应通过尝试计算推导比较复杂的数学规律题,一般可分以下四个步骤.

一、初步理解题意,拓展到最近发展区

经过初步读题,承前启后,迅速拓展已知.举一些新的例子,有数的添上新数,有式子的添写新式,有图的添画新图等 引导学生迈开第一步.降低难度,化难为易,分层次启发学生尝试解题,层层深入到规律中,让每个学生学到相应的数学知识.教会学生观察、分析、思考,承上启下,以此类推,拓展到最近发展区,让学生初步理解题意.

例3,观察下列各式,探索、拓展规律：13等于12；13+23等于9；13+23+33等于36等用含正整数n的等式表示你所发现的规律为 .启发学生先解答：“第4个式子为 .”“第5个式子为 .”等是否有简便算法?

例4,将一些半径相同的小圆,按如下图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆,第2个图形有10个小圆,第3个图形有16个小圆等以此类推,第6个图形有 个小圆,第n个图形有 个小圆.

第1个图形 第2个图形 第3个图形

启发学生先解答：“第4个图形为 ,第5个图形为 .”“分别用几个小圆?若不画图可否猜想出第6个图形的小圆个数?”等通过举更多具体的例子,达到最近发展区,直到学生读懂题意、理解题意为止.此时,教师还可以迎难而上,让学生快速计算位置数较大时对应项的值.试一试,如例题3的第100个式子是 ?如例题4的第50个图形的小圆个数是 ?

二、进行尝试计算,发掘表达式

在初步理解题意的基础上,列表探索“位置数”较大时,会简便计算相应项的值,结合例子,由简到繁,耐心尝试,找到一致算法挖掘表达式.大胆猜想,由第1个例子到第2个例子等尝试对比,从推理过程或从结论的数量特点,直接或间接用“位置数”推出相应项的值,且计算的方式一致,适合每个例子.经历从特殊到一般的分析、推理、归纳的过程,围绕“位置数”不断猜想、尝试,找到符合题意的计算方式,挖掘出表达式,一般从以下两种情况进行尝试计算.

(一)从结论的特征发现规律

首先观察例子,结论有明显特征的,就猜想着手变形,直接或间接发现有特定的变化规律.如例3,每个式子的左边已经熟悉,重点对比每个式子的右边,依次为：1,9,36,100,等即变形为特征数列得：12,32,62,102,等依此,原式可变形特征式：

第1个式子：13等于12等于1

第2个式子：13+23等于（1+2）2等于9

第3个式子：13+23+33等于（1+2+3）2等于36

等

第100个式子：13+23+等+993+1003等于（1+2+等+99+100）2等于〔〕2

等于〔×（1+100）〕2等于25502500.

等

最后,发掘出表达式,找到通用的、简便的计算方式,用“位置数”计算相应项的值,算法相同.

第n个式子：13+23+等+（n-1）3+n3等于〔1+2+等+（n-1）+n〕2

等于〔（1+n）〕2等于

(二)从计算的过程中发现规律

例4 经过尝试计算可成功列出如例2的表格：

解得第n个圆形的小圆个数为n（n+1）+4.此类题目从推理的过程中,存在某种计算方式,从简单第1个例可引伸到所有例,抓住变量与不变量挖掘出表达式,用“位置数”计算相应项的值.

一般来说,在尝试计算时,列表罗列已知例子,对比过程或结论,把“位置数”套到通用的算法中,可以合理推导出表达式,拓展到中等发展区.

三、推证表达式,确定规律

乘胜追击,做到心中有数,验证表达式的合理性.首先,用“位置数”代入表达式,求出相应项的结论；其次,据“初步理解题意”拓展到的最近发展区,直观形象地计算出该“位置数”相应项的结论；最后,对比两类计算的结论,若“位置数”相同,结论也相同时,则该表达式正确,成功找到规律,反之,该表达式不正确,需要重新进行尝试计算.

如例3 计算第4个式子：13+23+33+43等于 时,把“位置数”4即把n等于4 代入表达式：13+23+等（n-1）3+n3等于[1+2+ 等+（n-1）+n]2,算出13+23+33+43等于（1+2+3+4）2等于100.

而按初步理解时直接计算：13+23+33+43等于1+8+27+64等于100,两类算法一致.

以此类推,用第5、第6、第7、第8等等式子检验都成功,则可验证所得表达式正确.

四、运用规律,解答问题

解规律题时,把表达式当成一个公式,围绕“位置数”进行合理分析,这样,学生就能快速、正确地解答规律题.初中阶段,需要熟练掌握以下两种类型：

(一)顺用表达式――已知某个“位置数”,求相应项的结论

如例3 第10个式子是 .

把n等于10代入表达式：13+23+等（n-1）3+n3等于[1+2+等+（n-1）+n]2中得13+23+等93+103等于（1+2+等+9+10）2等于3025

(二)逆用规律式――已知某项的结论,求相应的“位置数”

如例4 用2554个小圆围成的是第 个图.设围成的是第n个图,把2554代入表达式得：n（n+1）+4等于2554

解得：n等于50.

这样,当学生熟悉规律探索过程,理解“位置数”与“相应项的值”一一对应时,运用表达式可以简便解答规律题.

通过以上例子表述,营造以学生为主体的课堂,老师少说,穿针引线暗地忙；学生多做,养成刻苦钻研的习惯,遇到陌生的规律题,掌握以上方法,大胆尝试计算后,就能找出潜在的规律,迅速解答.

（责编 林 剑）