基于一道中考几何题的课堂教学设计

一. 考题解读

2014年珠海市中考数学第21题：

如图,在正方形ABCD中,点E在边AD上,点F在边BC的延长线上,连结EF与边CD相交于点G,连结BE与对角线AC相交于点H,AE等于CF,BE等于EG.

（1）求证：EF//AC；

（2）求∠BEF大小

（3）求证：

本题以正方形为背景进行设计.三小问的设计上,前一问为后一问铺垫,每一问的解答既是结束又是下一问解答的开始,呈现明显的方向性和延伸性.对题目已知进行梳理后将隐含条件CG等于CF找出,连接BG,问题的实质为对如下四个结论逐一进行确认：△ABE≌△CBG；△BEG为等边三角形；∠ABE等于15°；△ABH∽△FBG

解答按如下行径逐步推进：

平行四边形ACFE→EF//AC→∠EFC等于∠ACB等于45°→GC等于CF等于AE→△ABE≌△CBG→BG等于BE等于EG→等边三角形BEG→∠BEF等于60°→∠ABE等于15°.接下来,在直角三角形ABE中应用锐角三角函数定

义, , ,将问题转化为求证 ,由△ABH∽△FBG得证.

探寻此题的生成,可以认为考题设计以正方形内接正三角形为核心元素,核心图形（图1）可描述为：在正方形ABCD中,等边三角形BEG的顶点E、G分别在边AD和CD上.图中由正方形ABCD与等边三角形BEG派生出来的图形包括等腰直角三角形DEG以及含15°角的一对全等三角形（△ABE≌△CBG）,丰富的图形元素构建了丰富和深刻的思维内涵. 历年中考题中,对这一图形及其所承载的思维内容的考查并不少见.但相对以往的等边三角形作为已知条件直接呈现,此考题仅为考生设计了等边三角形的导向标,并选择15°角的正切函数值加入到等待解决的问题当中,可谓创新.在对考生的能力要求上分别是发现等边三角形BEG的能力与对等边三角形BEG所带来的结论做出拓展的能力,由于题中自始至终未曾出现△BEG的相关描述,发现通过连接BG,证明△BEG为等边三角形可求得∠BEF的度数需要有扎实的基本功、充分的几何图形积累和良好的数学意识,尔后在求证 过程中需要计算技巧和将问题转化为△ABH∽△FBG加以解决的发散形思维,在考场紧张的思维状态中思考过程的任何一点不流畅都有可能使解答终止.

二、课堂教学设计

怎样的课堂教学才可以让学生自如面对考题的挑战呢?

考题将等边三角形的静态存在设计成一个动态的探究过程,充分引发数学思考,考查学生的建构意识,逻辑推理能力和灵活运用知识解决问题的能力.这意味着只有让探究成为课堂主旋律才能有考场上与题和谐共舞.

基于本考题设计的几何课堂教学以基本图形（图1）为研究对象,用问题牵引,引导学生充分解读图形所传递的信息.教师按照简单自然的原则,以基本图形为起点,顺应思维发展的自然,在思维逻辑推进的牵引下多层次多角度设问,显露知识生成与延展的脉络,引领学生逐步深入思考,让课堂学习永远在发现和再发现的过程中.

由于等边三角形BEG是本题解答的突破口,而当在本题设定的情境中探寻等边三角形BEG的生成路径时,可以发现,题中通过AE等于CF与BE等于EG生成△BEG为等边三角形的特质.其中AE等于CF直接指向AE等于CG,为△ABE≌△CBG提供依据,最终实现BE等于BG,△BEG为等腰三角形.这也是 AE等于CF作为已知条件的全部效用.当然,仅有BE等于BG只能得到等腰三角形BEG,为达成等边三角形BEG,加入BE等于EG.这就是在题目设计时为等边△BEG的出现所做的全部努力.

因此,在引导学生对基本图形进行学习时,应将思维重心放在△BEG的形状（等腰或等边三角形）上,以△BEG的形状为切入口设计以下系列问题,对每一个问题的思考与解决即为一个教学环节：

如图1,在正方形ABCD中,动点E、G同时从点D出发,以同样的速度分别沿DA、DC方向匀速运动.当点E运动到点A时,点G停止运动.连接BE,BG,EG.

（1）在整个运动过程中,△BEG的形状为_______；

（2）当∠ABE等于_______°时,△BEG为等边三角形；

（3）当△BEG为等边三角形且边长为 时,求正方形ABCD的边长；

（4）tan15°等于_______； _______；

（5）设AE等于a,DE等于b,当△BEG为等边三角形时, _______,请证明你的结论；

（6）当 时,判断△BEG的形状并说明理由；

（7）连接AC、BD,其中AC交BE于点H.延长EG与BC的延长线交于点F（图2）,在整个运动过程中,以下结论中正确的有_______

①BD⊥EG；②BD平分EG；③AC∥EG；④△FCG为等腰直角三角形；

⑤AE等于CF；⑥△ABH∽△FBG；（请在横线上填写序号）

（8）判断对错：

当△BEG为等边三角形时,△ABH∽△FBG；（ ）

当△ABH∽△FBG时,△BEG为等边三角形.（ ）

动点的设计使△BEG的形状处于动态当中,在为学生营造了一个探究的氛围,激发探究的同时凸显等腰三角形BEG的生成要素（ED等于GD或AE等于CG）及等边三角形BEG作为等腰三角形BEG的特殊情形,对应着动点E（或G）的某一位置（ ）或∠ABE的度数的一个确定值（∠ABE等于15°）的基本事实.（3）展现等边△BEG与正方形ABCD边长间的联系；（4）为（3）的自然生成；（5）为（3）的发散；（6）为（5）的逆向,凸显 为等边△BEG存在的充要条件；（8）呈现等边△BEG与△ABH∽△FBG之间的相辅相成；（7）和（1）呈现的则是在整个运动过程中的常态,（7）中⑥的设计为营造思维冲突,为（8）的探究奠定思维基础,激发学生探究的主观需求.

期待课堂中思维的跃动,还有每一个学生心底深处的智慧生成.