对“导数”演绎题的探究

〔关 键 词 〕 数学教学；导数；创新题

〔中图分类号〕 G633.6

〔文献标识码〕 C

〔文章编号〕 1004―0463（2014）

08―0091―01

纵观近五年高考数学“导数”章节的试题,不难发现试题立意朴实又不失新颖,选材源于教材而又高于教材,着重考查考生对数学本质的理解,宽角度、多视点、有层次地考查了数学理性思维.例如,抽象函数的图象与x轴及交点个数的问题,抽象函数的图象与直线的交点问题.下面,笔者就对这个考点演绎的创新题进行探究.

一、问题的基本图解

图4 直线与曲线有四个交点

由上述图组不难得出,曲线y等于f（x）与x轴（或直线）是否有交点或有几个交点,都与曲线的极值有着紧密的联系.

探究1（全国卷）已知函数f（x）等于x3-x .

（1）求曲线y等于f（x）在点M（t,

f（t））处的切线方程；

（2）设a>0.如果过点（a,b）可作曲线y等于f（x）的三条切线,证明：

-a

探究：（1）易知切线方程为：y等于（3t2-1）x-2t3.

（2）如果有一条切线过点（a,b）,则存在t,使得b等于（3t2-1）a-2t3.于是,若过点（a,b）可作曲线y等于

f（x）的三条切线,则方程2t3-3at2+a+b等于0 有三个相异的实数根.

令g（t）等于2t3-3at2+a+b,则g′（t）等于6t2-6at等于6t（t-a）.

当t∈（-∞,0） 和（a,+∞）时,

g′（t）>0,即g（x）单调递增； 当t∈（0,a）时,g′（t）<0,即g（t）单调递减.

则g（t）极大值等于a+b,而g（t）极小值等于b-f（a）.要使g（t）等于0有三个相异的实数根,由上述图1可得：g（x）极大值等于a+b>0g（x）极小值等于b-f（a）<0成立.

化简整理得：-a

二、得出的重要结论

结论1：若曲线y等于f（x）的图象与x轴有三个交点,则曲线y等于f（x）满足条件：f（x）极大值>0f（x）极小值<0.

结论2：若曲线y等于f（x）的图象与x轴有两个交点,则曲线y等于f（x）满足条件：f（x）极大值>0f（x）极小值等于0

或f（x）极大值等于0f（x）极小值<0

结论3：若曲线y等于f（x）的图象与x轴有一个交点,则曲线y等于f（x）满足条件：f（x）极大值<0或f（x）极小值>0

探究2：已知函数f（x）等于lnx,

g（x）等于x.

（1）若x>1,求证：f（x）>2g（）；

（2）是否存在实数k,使方程g（x2）-f（1+x2）等于k有四个不同的实数根?若存在,求出k的取值范围；若不存在,说明理由.

点评：（1）令F（x）等于f（x）-2

g（）等于lnx-,则F′（x）等于.

当x>1时,F′（x）等于>0.

∴F（x）在x∈[1,+∞）上是单调递增的,故F（x）>F（1）等于0.

∴f（x）>2g（）.

（2）令h（x）等于g（x2）-f（1+x2）等于x2-ln（1+x2） .

则由h′（x）等于等于等于0,得x1等于-1,x2等于0,x3等于1.

当x∈（-∞,-1）和（0,1）时,

h′（x）<0,即h（x）单调递减；当x∈（-1,0）和（1,+∞）时,h′（x）>0,即h（x）单调递增.

故h（x）极小值等于h（-1）等于h（1）等于-ln2,h（x）极大值等于h（0）等于0.

结合图4,当kh（x）极小值等于-1n2成立时,方程g（x2）-f（1+x2）等于k有四个不同的实数根,即k∈（-ln2,0）.

?笙 编辑：谢颖丽