一道常规题看传统式和探究式解题教学

一道常规题,在传统式的解题教学下,常成为学生的负担,打击学生解题的,扼杀学生独立思考的能力.因为传统的解题教学在快思考下进行,而快思考是一种本能的或训练到自动化的思维习惯.这种快,体现在教师解题思维的敏捷和讲解速度上,矛盾在于学生可能未达到快思考的熟练程度,所以必定产生无效教学.探究式的解题教学从学生亲身体验和观察思考出发,在教师的组织和诱导下,合情合理地幔思考,并自然地过渡到快思考的结果上.符合学生认知特点,可调动学生学习的积极性,培养学生对自我解题能力的肯定,能让学生相信自己的思考.以下从一道常规题出发,对比分析了两种教学方式的特点和优劣.

1.问题及常规解法

问题：在ΔABC中,A等于60°,a等于2,b等于m,若解三角形只有唯一解,求实数m的取值范围.（这里默认角A、B、C所对应的边为a、b、c）

面临这样的问题,一般是画出如图（1）的ΔABC,且把角A等于60°

习惯地标记在顶角,再根据问题的已知标出相应边的值,受图形和问题结构的启发,想到正弦定理和余弦定理已经是必然的习惯.

诚然,优秀的学生和教师都会这样去做,所以有了下面的解法.

解法1：由正弦定理有asinA等于msinBsinB等于m34,因为三角形只有唯一解,于是角B只有唯一值,即关于角B的方程sinB等于m34只有唯一解,

这里可以把方程理解为函数值m34的给出确定了唯一的角B,而0

解法2：根据余弦定理有22等于c2+m2-2cmcos60°,化简得c2-cm+m2-4等于0.因为三角形只有唯一解,所以m的给出使得关于c的方程在正实数范围内只有唯一解.于是令f（c）等于c2-mc+m2-4,满足题意的图像如图（3）.由于f（c）开口向上,对称轴在x轴的正半轴,所以只需f（0）<0或Δ=0,解得实数m的取值范围为{m|0

2.传统解题教学

上述两种解法均作了一个检测设：ΔABC已经被唯一确定,否则就不可能画出图（1）,因为没有确定的三角形不能被画出.这样的检测设使得我们可以用图（1）来表征问题,这是很重要的,因为在很多时候可以检测设问题已经解决,得到关于问题的相关信息,对照原题可使问题的解决得到更好的进展.但在传统解题教学中,往往把这样一种想法当着习惯来对待.

当然“习惯”指引着我们解决问题,贯穿问题解决的始终.如：我们习惯地画出图（1）,习惯地把角A画到纸张的上方,习惯地把角m放在右边,习惯地使用正余弦定理（对于该种类问题,在传统教学下基本上已经成为思维定势）,习惯地将方程sinB等于m34看成函数值对自变量的确定,习惯地将方程c2-cm+m2-4等于0看成m的给出使得c有唯一解,习惯地采用数形结合思想画出函数图像进行分析,这些习惯在问题的解决的过程中基本上达到了自动化的程度.

多数教师的解题教学观默认为解题教学的目的在于“巩固知识和形成解题思想方法、技能”,于是课堂上尽可能多地讲解题目成为了使学生快速掌握更多技能和方法的手段,课下要求学生大量练习.由于需要更多地讲解题目,所以传统教学中常常将问题结构分析简略、将解决问题所采取的“检测设”思想丢掉、将学生的认知忽略、习惯地认为学生具备了问题解决所需要的习惯,就像教师自己具有这些习惯一样.这样的教学让学生思维疲惫,注意力不集中,即便是具备了听懂教师讲解的学生也只具备了灵活应用的能力,二缺乏自主思考和探究的能力,以至于学生遇见新问题时,不仅不知道怎么做,甚至不敢去做,因为学生不相信自己面对问题时产生的想法,每次解题都用了教师的思想方法和技能,很少按照自己的想法去解决问题.所以传统解题教学主要培养了学生的基础知识和技能,而技能在多次训练后便能达到自动化的程度,所以学生大量练习,这样教育的学生缺乏自主思考和合作探究的能力,甚至有扼杀学生创新意识的嫌疑.诚然,社会需要技能型人才,但大胆思考、具有创新意识和探究能力的人才才是社会发展的需要.

3.习惯和技能的思考

解题过程中的种种“习惯”,可以理解为对刺激物进行自动化处理的反应行为.这些“习惯”的产生缘由包括两个方面,一是在问题解决过程中方便对数学对象的操作采取了人本能的处理手段,如把角A等于60°习惯地标记在ΔABC的顶角便是这个原因形成的习惯；二是在技能形成过程中得到了多次巩固而形成的自动化模式,已经内化为刺激与反应的结果,如将方程sinB等于m34看成函数值对自变量的确定.这两个方面的影响一个是出于人本能反应采取的处理手段,这些处理手段在长期使用中形成习惯,很多学生都具备这些习惯.但另一方面形成的技能性自动推理模式的习惯受学生的智力和训练次数的影响,且大多源于教师直接讲授,并非人本能反应的结果,源于外因,但长时间训练后可被内化.

上述两种解法中有些习惯是学生具有的,但有些习惯多数学生未达到自动推理的程度.如：画出图（1）是本能反应,学生具备这样的习惯、想到正余弦定理属于多次训练的结果,几乎达到了自动化推理的程度,但根据“解三角形有唯一解”而将“方程sinB等于m34看成函数值对自变量的唯一确定”、“方程c2-cm+m2-4等于0看成m的给出使得关于c的方程在正实数范围内有唯一解”的技能型习惯多数学生是没有具备的,至少没有达到自动化的程度.即便学生通过大量练习达到了自动化程度,也是以失去探究能力和创新意识为代价的,这样的学生顶多就能解决些常规题,这里常规题定义为在解题者大脑中曾今解决过并形成了清晰问题结构的问题.

4.探究式解题教学分析

通过以上分析,笔者认为,解题教学应在学生分析问题时所看到和想到的数学对象和原理多产生的本能反应出发（这里人本能反应的习惯对学生有指导性）,引导学生独立思考、合作探究、大胆猜测,在活动和探究中有些技能不一定要达到自动化,因为此时技能在人本能反应和问题解决发展的迫使下被激活和应用,甚至被解题者自主创造.这样创造和锻炼的技能才可称为自然性技能,并没有以扼杀学生多方面能力为代价,并且这样的教学培养了学生独立思考、合作探究、大胆猜测的能力,以后学生在解决新的问题时,他最少敢于相信自己的思考和判断,因为在这样的教学下,学生多次从自己所看到和想到的出发解决了很多问题.下面以上述问题为例,呈现探究式教学. 教学过程：

[师]：请同学们仔细分析问题,说说你是怎么理解该问题的,它的已知、条件和未知分别是什么?

[生]：知道ΔABC中A等于60°,a等于2,边b等于m但是未知的,求的是m的取值范围.（学生并不一定理解“解三角形只有唯一解”这一条件）

[师]：“若解三角形只有唯一解”是什么意思?你们是怎么理解的呢?

[生]：由A等于60°,a等于2,b等于m确定的三角形只有一个.

[师]：这个三角形知道了两个量,可以理解为结合A等于60°,a等于2,m的给出确定了唯一的ΔABC.

[师]：同学们能不能画一个图来帮助我们理解这个问题呢?

通常学生会画出图（1）,于是想到用正余弦定理便是顺理成章的事情,但在有关正余弦定理的问题解决中很少用函数的观点来看待方程,所以学生列出正余弦定理后便停止了.有的学生不敢画图,因为这个三角形是什么形状没有被确定,这样的学生受传统教学的影响,不敢去做,实际上他们至少能把能ΔABC中能画出的部分画出来.

[师]：这个三角形被确定了吗?它的哪些量是确定的,你能画出它一部分的形状吗?

于是学生画出图（4.1）,把角A等于60°画在左边,底边和水平线齐平,这是一种本能习惯,画角通常都这样画.

[师]：a等于2怎么画在你的图形中呢?实际上就是确定B、C两点的问题.

提示用圆规截取2cm的长度（实际上可以用任意长度,因为a等于2没有单位）,可在角A等于60°的一边上取一个点,然后画弧确定另一个点.

[师]：改变一下你所确定的第一个点,另外一个点的位置会发生怎样的变化呢?

给足时间,学生在这样的合作交流和探究中毕定会产生下列图（4.2）的各种情况.

通过变化点C不难探究和计算出实数m的取值范围为{m|0

[师]：通过同学们的探究,可知问题的难点在于理解“m的给出确定了唯一的ΔABC”,当点C变化的时候,m发生变化,从而引起了角B发生变化或c边发生变化,这里一个量的变化引起了另一个量的变化,所以我们可以用函数的观点来处理问题.重要的是建立函数关系式,可用正余弦定理.从而将解法过渡到上述解法1和解法2,问题得到解决.

综上分析,传统的解题教学以传授解题思想方法和技能为目的,是一种通过大量训练使技能得到自动化发展后用于解决常规题的一种智力活动,在这个活动中技能未达到自动化程度的学生会在大脑中会有一种强烈的被压迫感,从而产生思维负担而不能跟上教师讲解的思路,使得课堂枯燥无味,且扼杀了学生的创新意识.学生面临从未见过的问题时不敢相信自己的思考,而将自己置于困境之中,使问题的解决得不到发展.但基于学生自然思考和本能习惯的探究式解题教学,虽然费时,但充分调动了学生学习的兴趣,鼓励了学生从自己看到的和思考到的地方出发,在教师的组织和诱导下一步一步地探究了问题的本质,相信学生的参与度和学生对问题模型的掌握都能达到很好的程度,并且全部基于学生的本能习惯和已经掌握的技能性习惯,上述问题中从探究过渡到解法1和解法2都并不是牵强的给出,这些技能都是基于学生对问题探究和发展的迫使下被调动出来的,特别是探究式教学中学生在确定点C探究点B时所画出的各个图形使学生发现了问题的本质,学生解题的热情高涨,再在教师的诱导下归结到一般解法上的过渡,培养了学生用严谨的数学思考解决问题的思维习惯,这应该是解题教学发展的趋势,是解题教学的真谛.