借山东理科数学高考21题来抛物线切线问题

2012年山东高考理科数学21题如下：在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C：x2等于2py（p>0）的焦点,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为 .

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在,求出点M的坐标；若不存在,说明理由；

（Ⅲ）若点M的横坐标为 ,直线l：y等于kx+ 与抛物线C有两个不同的交点A,B,l与圆Q有两个不同的交点D,E,求当 ≤k≤2时,|AB|2+|DE|2的最小值.

在此,我们只对第二问进行研究.由题意可得抛物线C的方程x2等于2y,

对于第二问,我们先检测设存在点M,使得QM为抛物线的切线,根据抛物线的光学性质,经焦点发射光线经过抛物线反射,平行对称轴射出,即图中MS//FO；反向延长交准线于N点,由∠1等于∠3等于∠2,可知切线QM为∠FMN的平分线,又有抛物线定义,MF等于MN,可得N点也在圆上,MN的中垂线也过圆心知,R点纵坐标为0.25,由于N在准线上,R为MN中点,可得M点纵坐标为1,代入抛物线方程得M点横坐标为 ,即M（ ,1）.