题一:三割两等定理

在平面内,(如图)由圆外的一点,向圆引三条割线,如果割得的二个大弦相等,那么割得的二个小弦和所夹的二个角也相等,

已知:(如图)A是O外的任一点,AB.AC.AD分别是O的三条割线,分别交O于G、F、E、BC等于CD.

求证:①GF等于FE

②∠BAC等于∠CAD

证明:连接BF、CG、CE、DF、EF、FG

在ΔABF和ΔACG中∠1等于∠1

∠3等于∠4

ΔABF∽ΔACG等于>等于AFAG等于>

AC•,AF等于AB•,AG等于>等于>

ΔACB∽AGF等于>

同理在ΔACE和ΔADF中∠2等于∠2

∠5等于∠6

等于>AC•,AF等于AD•,AE等于>等于>

ΔACD∽ΔAEF等于>等②

由:AC•,AF等于AB•,AG

AC•,AF等于AD•,AE

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由:FG等于EF等于>FG等于EF等于>∠3等于∠6

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BC等于CD等于>BC等于CD等于>∠7等于∠8

故:∠1等于∠7―∠3

∠2等于∠8―∠6

作一任意角∠A,(∠A的范围0°<α≤36°)将∠A平均三等分

作法:(如附图一)

1.先作∠A的平分线AM.(Am射线、An射线)

2、在∠A的平分线上任取一点O

3、经O点作∠A平分线的垂线,交∠A的一边Am射线于B点,交∠A的另一边An射线于C点

4、以O点为圆心,OB为半径画圆,则圆周必经C点,同时圆周交Am射线于H,交An射线于I.

∵在ΔABO和ΔACO中.AO等于AO

∠BOA等于∠COA等于90°

∠BAO等于∠CAO

OB等于OC.∴圆周必经C点

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5、作∠BOD等于∠DOE等于∠EOC等于60°分别交圆周于D、E等于>BD等于DE等于EC等于>BD等于DE等于EC

6、连结AD.AE交圆周于F、G

则:∠BAD等于∠DAE等于∠EAC(一角三分)

论题二:给已知一个任意角(0度除外)平均

三等分

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论证:(如附图二)连结BF.DH.DG.EF.CG.EI.HF.FG.GI∵BD等于DE等于EC等于>∠1等于∠2等于∠3

又∵∠1等于∠4+∠7∠2等于∠5+∠8∠3等于∠6+∠9

如果能证明∠4等于∠5等于∠6即可得出∠7等于∠8等于∠9

则∠BAD等于∠DAE等于∠EAC(一角三分)

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证明(如附图二)已知:BD等于DE等于EC求证:∠4等于∠5等于∠6

∠4等于∠10

∠7等于∠7

同理可证

∠5等于∠11

∠8等于∠8

由:AF•,AD等于AH•,AB

AF•,AD等于AG•,AE

同理可证:∠8等于∠9故得∠BAD等于∠DAF等于∠EAC(一角三分成立)

作一任意角∠A,将∠A平均3等分(∠A的范围36°<α≤108°)

解法:1、先作∠A的平分线AM(Am射线,An射线)

2、在∠A的平分线上任意取一点O

3、作∠AOB等于72°交∠A的一边Am射线于B点,作∠AOC等于72°交∠A的另一边An射线于C点

4、以OB为半径,O点为圆心画圆,则圆周必经C点∵在ΔABO和ΔACO中.AO等于AO∠BOA等于∠COA等于72°∠BAO等于∠CAO∴在ΔABO≌ΔACO

∴OB等于OC则圆必经C点,同时交AD于D点

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5、以BD为单位在圆O的周长截取BE、EF、FC、CD(根据正五边形内角和得出)

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则得BD等于BE等于EF等于FC等于CD

BD等于BE等于EF等于FC等于CD(圆内正五边形的弧长相等,弦长相等)

6、连接AE、AF交元O于G、H

则:∠BAE等于∠EAF等于∠FAC(一角三分)

证明:如附图(三)圆周交AB于J、交AC于K

连接JE、BG、EH、FG、HC、FK

∵∠1等于∠2∠3等于∠4∠5等于∠6

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BE等于EF等于FC

(根据在同圆中等弧或同弧所对的圆周角相等)

则得出:∠7等于∠8∠9等于∠10∠11等于∠12(根据同上)

则得出:∠2等于∠7+∠13∠3等于∠10+∠14∠5等于∠12+∠15

已知:∠1等于∠2等于∠3等于∠4等于∠5等于∠6

如果能证明∠7等于∠10等于∠12等于∠8等于∠9等于∠11

即可得出∠13等于∠14等于∠15(一角三分)

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已知如附图四BE等于EF.求证:JG等于GH

证明:∠7等于∠8

∠13等于∠13

同理:∠9等于∠10

∠14等于∠14

由:AG•,AE等于AJ•,AB

AG•,AE等于AH•,AF

同理可证∠14等于∠15

给一任意角平均三等分第三种情形(108°<α≤216°)

作一任意角∠A,范围在(108°<α≤216°)将∠A平均三等分

解法:(如附图五)

2、在∠A的平分线上任意取一点O

3、作∠AOB等于72°交∠A的一边∠Am射线于B点,作∠AOC等于72°交∠A的另一边An射线于C点

4、以O点为圆心,OB为半径画园,则园周必经C点∵在ΔABO和ΔACO中.AO等于AO∠BOA等于∠COA等于72°∠BAO等于∠CAO∴在ΔABO≌ΔACO∴OB等于OC则圆必经C点,

5、以O点为顶点,以OB为始边顺时并依次作∠BOD等于72°∠DOG等于72°

∠GOC等于72°分别交圆周于D、,延长OA交圆于K连结BD、DG、GC、CK、KB便是圆内接正五边形.

∴BD等于DG等于GC等于CK等于KB

6、连接AD、AG

则:∠BAD等于∠DAG等于∠GAC(一角三等分)

证明:(如附图六)连结BD、DG、GC,延长BA交圆周于F,延长DA交圆周于H,延长GA交圆周于I,延长CA交圆周于J,连结FH、HI、IJ、BH、GH、CI.

则:∠BAD等于∠4∠DAG等于∠1∠GAC等于∠7(对顶角).则∠4等于∠5+∠6

∠1等于∠2+∠3∠7等于∠8+∠9

则∠2等于∠5等于∠8(同圆等弧所对的圆周角相等)

如果能证明:∠6等于∠3等于∠9

也就能证明:∠4等于∠1等于∠7则∠BAD等于∠DAG等于∠GAC

证明:(如附图六)在ΔABD和ΔAHF中∠BAD等于∠HAF∠BDA等于∠HFA

∴ΔABD∽ΔAHF等于>等于>AD•,AH等于AF•,AB等①

同理在ΔACG和ΔAIJ中∠CAG等于∠IAJ.∠CGA等于∠IJA

∴ΔACG∽ΔAIJ等于>等于>AG•,AI等于AJ•,AC等②

同理在ΔADG和ΔAIH中∠DAG等于∠IAH.∠ADG等于∠AIH

∴ΔADG∽ΔAIH等于>等于>AD•,AH等于AI•,AG等③

由此得出①等于②等于③等于>

可得出∠6等于∠9等于∠3

∠2等于∠5等于∠8

(一角三等分)

作者简介:

王振君,男(1960年7月-)辽宁昌图县人,现居住于黑龙江省齐齐哈尔市龙江县黑岗乡索伯台村