数学模型

数学2006年12月16日

人力资源安排问题

一摘 要:

人力资源的安排问题是一类带有复杂约束条件的优化与规划类问题.在当代经济知识时代,人力资源已经成为生产要素中最活跃,最重要的因素.

就拿某学校承接某些项目来说,由于学历高,资深的教授等就相对稀缺,为了使得数学系每天的直接收益最大,合理的分工,适当的人力资源安排就显得尤为重要.

·我们的研究中就如何分配教员才能使得数学系获得最大的收益的问题进行了分析.

·收益值Z表示承接某项目的教员个数Xij的函数表达式,将问题转化为求解Z的最大值问题.

·这是在一定的约束条件下的线性规划的数学模型的问题.

·可以用LINGO数学软件求出

数学系教员们每天的直接收益最大为:38210.00

数学系教员们一周的直接收益最大为:195620.0

对应的教员分配一致,如下表所示:

ABCD

教授3522

副教授112102

讲师2528

助教1810

表中所示就是该数学系人力资源的最优的安排.

该模型在工农业,军事,交通运输,决策管理与规划,科学实验等领域应用广泛,具有不可比拟的优点,值得推广和使用.

关键字:

数学模型,线性规划,LINGO

二问题重述:

某学校数学系现有64名教师,其职称结构和相应的工资水平分别如表一所示:

表一:数学系的职称结构及工资情况

教授副教授讲师助教人数12251710工资/日(元)250200170110

目前,该系承接有4个项目,其中2项项目实践,需要到现场监理,分别在A地和B地,主要工作在现场完成,另外2项是理论研究,分别在C地和D地,主要工作在办公室完成.由于4个项目来源于不同客户,并且工作的难易程度不一,因此,各项目的合同对有关技术人员的报酬不同,具体情况如表2所示.表2不同项目和各种人员的报酬标准

教授副教授讲师助教收费

(元/天)

A

B

C

D1000

1500

1300

1000800

800

900

800600

700

700

700500

600

400

500为了保证项目质量,各项目中必须保证各职称人员结构符合客户的要求,具体情况如表3所示.

表3:各项目对专业技术人员结构的要求

ABCD教授副教授

讲师

助教

总计1～3

≥2

≥2

≥1

≤172～5

≥2

≥2

≥3

≤202

≥2

≥2

≥1

≤151～2

2～8

≥1

--

≤18说明:

表中"1～3"表示"大于等于1,小于等于3",其他有"～"符号的同理,

项目D,由于技术要求较高,人员配备必须是讲师以上,助教不能参加,

教授相对稀缺,而且是质量保证的关键,因此,各项目客户对教授的配备有不能少于一定数目的限制.各项目对其他职称人员也有不同的限制或要求,

各项目客户对总人数都有限制,

由于C,D两项目是在办公室完成,所以每人每天有50元的管理费开支.

收费是按人工计算的,而且4个项目总共同时最多需要的人数是17+20+15+18等于70,多于数学系现有人数64.因此需解决的问题是:如何合理的分配现有的技术力量,使数学系每天的直接收益最大并写出相应的论证报告.Max(min)Z等于

约束条件:

Xij>,等于lij

Xij>,等于hij

经过分析,我们把所研究的问题归入线性规划模型,求最大值问题.

·数学系每天的直接收益等于数学系所有教员的每天的收入减去教员的工资,再减去C,D项目中,每天的管理费开支.

·把数学系分配给各个项目的各类型教员设为Xij,(表示第i类型的教员去接第j个项目,i代表教授,副教授,讲师或者助教,j代表项目A,B,C或者D.)因此,数学系的收益Z可以表示为关于Xij的线性表达式.所求问题便成为在各个项目的要求下(对Xij的约束条件)求Z的最大值问题.

·由于MATLAB中没有现成的线性规划数学函数,我们选用比较方便使用的LINGO软件,这样我们就可以解得收益Z的最大值,和数学系各类型的教员的分配方案.

四模型检测设:

(1)数学系各类型的教员在承接项目期间没有缺勤,请检测,辞职或者跳槽的现象发生.

(2)各类型的教员都没有兼任其他的职务.

(3)各个项目都不会受到客观环境的影响.比如不受到天气的原因而影响工作的进行.

(4)凡是数学系的教员不论是否被指派去A,B,C和D工作,(经过工作分配,可能有部分的教员没有被分配到A,B,C和D工作)都应该发给工资.

五符号说明:

Z————数学系每天的直接收益

Zmax————数学系每天的直接收益的最大值

xij————第i种类型的教员被分配到第j个项目的人树

(i等于1,2,3,4分别对应教授,副教授,讲师,助教,

j等于A,B,C,D分别对应四个项目)

六数学模型的建立模型的求解和分析:

设数学系的教员安排人数按照表中安排

ABCD教授x1Ax1Bx1Cx1D副教授x2Ax2Bx2Cx2D讲师x3Ax3Bx3Cx3D助教x4Ax4Bx4C

数学系各类型的教员可被分配到的工作地址如下图所示:

根据题设,数学系每天的直接收益等于

教员的总收入—C,D教员的管理费用—教员的工资额

其中包含的含义是:

·数学系的总收入最高

·数学系支付给教员的工资最低(但教员的工资题目已经设置为定值)

·办公室人员的管理费用最低

数学系的直接收入可用公式表达为:

Z等于(+(

+()+(

-12×250-15×200-17×170-10×110

在下面的约束条件下求Z的最大值

各个项目对各类型教员的要求:

根据表"各项目对专业技术人员结构的要求x1C等于2,1<,等于x1D<,等于2,

x2A>,等于2,x2B>,等于2,x2C>,等于2,2<,等于x2D<,等于8,

x3A>,等于2,x3B>,等于2,x3C>,等于2,x3D>,等于1,

x4A>,等于1,x4B>,等于3,x4C>,等于1,

,,,

根据表"数学系的职称结构及工资情况",有下面的不等式

,,,

根据题设知道数学系的总人数为:

这是一个线性规划问题,我们用LINGO数学软件可以求出结果.

LINGO程序见附录.

根据LINGO程序执行的结果可以得出数学系最大的直接收益为:

Zmax等于40160.00

此时对应的教员安排如下表:

ABCD教授3522副教授112102讲师2528助教1810

(2)以一个星期为周期,如果每个教授最多只能工作四天,每个副教授最多只能工作5天,讲师和助教每天都可以工作.此时如何合理的分配现有的技术力量,使数学系一个星期的直接收益最大并写出相应的论证报告.x1Cx1D副教授x2Ax2Bx2Cx2D讲师x3Ax3Bx3Cx3D助教x4Ax4Bx4Cx4D

则数学系一个星期的直接收益为:

教授分别被指派到A,B,C和D工作,工作4天可得到的报酬

+副教授分别被指派到A,B,C和D工作,工作5天可得到的报酬

+讲师分别被指派到A,B,C和D工作,工作7天可得到的报酬

+助教分别被指派到A,B和C工作,工作7天可得到的报酬

-教授,副教授,讲师和助教分别被指派到C,D工作的管理费

-教授,副教授,讲师和助教一周7天得到的工资

于是问题转化为在下面的约束条件下求Z的最大值问题

各个项目对各类型教员的要求:

根据表"各项目对专业技术人员结构的要求x1C等于2,1<,等于x1D<,等于2,

x2A>,等于2,x2B>,等于2,x2C>,等于2,2<,等于x2D<,等于8,

x3A>,等于2,x3B>,等于2,x3C>,等于2,x3D>,等于1,

x4A>,等于1,x4B>,等于3,x4C>,等于1,

,,,

根据表"数学系的职称结构及工资情况",有下面的不等式

,,,

根据题设知道数学系的总人数为:

而目标函数是一个星期的直接收益Z:

Z等于4*(+5*(+7*()+7*(

-7*12×250-7*15×200-7*17×170-7*10×110

仍然是一个线性规划的数学模型,约束条件相同,知识目标函数有所变动,同样运用LINGO数学软件,编程见附录:

根据程序运行结果,可以得出:

数学系一个星期的直接收益最大为:

Zmax等于195620.0

此时对应的教员安排如下表:

ABCD教授3522副教授112102讲师2528助教1810

七模型的结果检验(模拟仿真):

任意检测设一种教员的分配方案,试求数学系的直接收益.

在满足题设的条件下,举(1)中一个例子说明:

检测设教员安排如下表:

ABCD教授3522副教授102112讲师3428助教1810

计算该数学系将得到的直接收益为:

Z等于1000*3+5*1500+2*(1300-50)+2*(1000-50)

+10*800+2*800+11*(900-50)+2*(800-50)

+3*600+4*700+2*(700-50)+8*(700-50)

+1*500+8*600+1*(400-50)

-12*250-25*200-17*170-10*110

等于40110.0

该结果小于我们所求得的Zmax.

依此计算机检测设出其他可行的人员分配方案,代入目标函数中均求得Z小于

Zmax.可以知道模型与结果正确.

八模型评价改进与推广:

·在这个模型当中,我们做出的检测设比较理想化,与现实社会有一定的出入.

·为了使这个模型具有更强的现实意义,我们可以对该数学系教员的缺勤,辞职,跳槽或者其他客观环境在模型中考虑进去,数学系的直接收益还是可以用上述方案解决.

·另外,我们还可以考虑数学系教员有的情况发生,可以检测设教授可以从事其他三类教员的工作,副教授可以从事讲师和助教的工作,讲师可以从事助教的工作,这样,该模型就具有更强的现实意义了.

·本论文中对教员进行整体的管理,统一的分配,其实还可以设计得更加的人性化,可以考虑到不同个人的不同条件,充分发挥个人的优势,扬长避短,使每个人都能到最适合自己的岗位上工作,尽量做出合理的安排,较好的完成工作,同时使教员满意.

在进行人力资源分配的时候,充分考虑内部,外部环境的因素.内部环境中考虑数学系等企事业单位发展战略的变化,以及员工流动的变化,外部环境中考虑政府人力资源政策的变化,人力供需矛盾的变化,以及竞争对手的变化.

另外,发挥人的最大的主观能动性,激发人才的活力,充分发挥人的主动性和创造性,获得高效益.我们要缔造,激励和鼓舞每个人努力高效的工作.

·本论文建立的线性规划模型能与实际紧密联系,结合实际情况对所提出的问题进行求解,使模型更贴近实际,通用性,推广性较强.该模型在工农业,军事,交通运输,决策管理与规划,科学实验等领域应用广泛,具有不可比拟的优点,值得推广和使用,模型还可以运用到商场,国有或者私营企业,现代酒店,中小企业的人力资源的规划中去,可以最大的获得效益.

九参考文献:

[1]吴建国,数学建模案例出版地:北京中国水利水电出版社,2005年.页码:252—272页

[2]林雪松,MATLAB7.0应用集锦出版地:三河市机械工业出版社2006年

页码:339—355页

[3]孙红伟商场经营管理中的几个数学模型分析,商业现代化,卷期号:475期,起止页码:62—63页,2006年

[4]陈晓梅,支持向量机在企业人力资源结构分析中的应用,河北工业大学学报,卷期号:第27卷,第5期,2005年

附录:

(1)LINGO程序:

model:max等于

1000*x1A+800*x2A+600*x3A+500*x4A+1500*x1B+800*x2B+700*x3B+600*x4B+1250*x1C+850*x2C+650*x3C+350*x4C+950*x1D+750*x2D+650*x3D-11990,

x1A+x1B+x1C+x1D<,等于12,

x2A+x2B+x2C+x2D<,等于25,

x3A+x3B+x3C+x3D<,等于17,

x4A+x4B+x4C<,等于10,

x1A>,等于1,x1A<,等于3,

x1B>,等于2,x1B<,等于5,

x1C等于2,

x1D>,等于1,x1D<,等于2,

x2A>,等于2,

x2B>,等于2,

x2C>,等于2,

x2D>,等于2,x2D<,等于8,

x3A>,等于2,

x3B>,等于2,

x3C>,等于2,

x3D>,等于1,

x4A>,等于1,

x4B>,等于3,

x4C>,等于1,

x1A+x2A+x3A+x4A<,等于17,

x1B+x2B+x3B+x4B<,等于20,

x1C+x2C+x3C+x4C<,等于15,

x1D+x2D+x3D<,等于18,

x1A+x2A+x3A+x4A+x1B+x2B+x3B+x4B+x1C+x2C+x3C+x4C+x1D+x2D

+x3D<,等于64,

@gin(x1A),@gin(x1B),@gin(x1C),@gin(x1D),@gin(x2A),@gin(x2B),@gin(x2C),@gin(x2D),@gin(x3A),@gin(x3B),@gin(x3C),@gin(x3D),@gin(x4A),@gin(x4B),@gin(x4C),

End

LINGO程序运行结果:

Globaloptimalsolutionfoundatiteration:10

Objectivevalue:40160.00

VariableValueReducedCost

X1A3.000000-1000.000

X2A11.00000-800.0000

X3A2.000000-600.0000

X4A1.000000-500.0000

X1B5.000000-1500.000

X2B2.000000-800.0000

X3B5.000000-700.0000

X4B8.000000-600.0000

X1C2.0000000.000000

X2C10.00000-850.0000

X3C2.000000-650.0000

X4C1.000000-350.0000

X1D2.000000-950.0000

X2D2.000000-750.0000

X3D8.000000-650.0000

RowSlackorSurplusDualPrice

140160.001.000000

20.0000000.000000

30.0000000.000000

40.0000000.000000

50.0000000.000000

62.0000000.000000

70.0000000.000000

83.0000000.000000

90.0000000.000000

100.0000001250.000

111.0000000.000000

120.0000000.000000

139.0000000.000000

140.0000000.000000

158.0000000.000000

160.0000000.000000

176.0000000.000000

180.0000000.000000

193.0000000.000000

200.0000000.000000

217.0000000.000000

220.0000000.000000

235.0000000.000000

240.0000000.000000

250.0000000.000000

260.0000000.000000

270.0000000.000000

286.0000000.000000

290.0000000.000000

(2)LINGO程序如下:

model:max等于

4*1000*x1A+5*800*x2A+7*600*x3A+7*500*x4A+4*1500*x1B+5*800*x2B+7*700*x3B+7*600*x4B+4*1250*x1C+5*850*x2C+7*650*x3C+7*350*x4C+4*950*x1D+5*750*x2D+7*650*x3D-11990*7,

x1A+x1B+x1C+x1D<,等于12,

x2A+x2B+x2C+x2D<,等于25,

x3A+x3B+x3C+x3D<,等于17,

x4A+x4B+x4C<,等于10,

x1A>,等于1,x1A<,等于3,

x1B>,等于2,x1B<,等于5,

x1C等于2,

x1D>,等于1,x1D<,等于2,

x2A>,等于2,

x2B>,等于2,

x2C>,等于2,

x2D>,等于2,x2D<,等于8,

x3A>,等于2,

x3B>,等于2,

x3C>,等于2,

x3D>,等于1,

x4A>,等于1,

x4B>,等于3,

x4C>,等于1,

x1A+x2A+x3A+x4A<,等于17,

x1B+x2B+x3B+x4B<,等于20,

x1C+x2C+x3C+x4C<,等于15,

x1D+x2D+x3D<,等于18,

x1A+x2A+x3A+x4A+x1B+x2B+x3B+x4B+x1C+x2C+x3C+x4C+x1D+x2D

+x3D<,等于64,

@gin(x1A),@gin(x1B),@gin(x1C),@gin(x1D),@gin(x2A),@gin(x2B),@gin(x2C),@gin(x2D),@gin(x3A),@gin(x3B),@gin(x3C),@gin(x3D),@gin(x4A),@gin(x4B),@gin(x4C),

End

LINGO程序运行结果如下:

Globaloptimalsolutionfoundatiteration:11

Objectivevalue:195620.0

VariableValueReducedCost

X1A3.000000-4000.000

X2A11.00000-4000.000

X3A2.000000-4200.000

X4A1.000000-3500.000

X1B5.000000-6000.000

X2B2.000000-4000.000

X3B5.000000-4900.000

X4B8.000000-4200.000

X1C2.0000000.000000

X2C10.00000-4250.000

X3C2.000000-4550.000

X4C1.000000-2450.000

X1D2.000000-3800.000

X2D2.000000-3750.000

X3D8.000000-4550.000

RowSlackorSurplusDualPrice

1195620.01.000000

20.0000000.000000

30.0000000.000000

40.0000000.000000

50.0000000.000000

62.0000000.000000

70.0000000.000000

83.0000000.000000

90.0000000.000000

100.0000005000.000

111.0000000.000000

120.0000000.000000

139.0000000.000000

140.0000000.000000

158.0000000.000000

160.0000000.000000

176.0000000.000000

180.0000000.000000

193.0000000.000000

200.0000000.000000

217.0000000.000000

220.0000000.000000

235.0000000.000000

240.0000000.000000

250.0000000.000000

260.0000000.000000

270.0000000.000000

286.0000000.000000

290.0000000.000000

项目主要指标分数分数评定格式完备步骤齐全,格式规范,美观,图文并茂5摘 要扼要说明文中主要模型,方法和结论5模型建立明确给出数学模型并解释模型含义30求解求解算法设计合理,技术先进,性能优良,程序正确15结果符合题目要求5模型检验模型的合理性,适用性检验10其它检测设的合理性,建模的创新性,结果的正确性,文字描述的清晰性,表达的准确性10答辩语言表达准确,概念清楚,思维清晰,回答问题有理论依据,准确,深入20

人力资源分配