教你写文语文教研通讯

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第十次全国中学数学教育优秀论文评选

【论文标题】

基于以学定教的"备·议·导·练"四要素建构式数学课堂

------以"等腰三角形"复习教学为例

【摘 要】我校的课堂教学改革已经历时两年,从"学·议·导·练"模式改进到现在的"备·议·导·练"四要素模式,这是一个从入模到出模的变化,它既是一次理念上的蜕变,又是一次技术上的进步.使原来线性的僵化的机械的课堂模式,转变成了能根据学科特点,教学内容,自由组合四大要素的灵活的课堂教学模式,具有更强的可操作性和科学性,充分体现了"以学定教,学为中心"的课堂教学思想.经过全组教师的反复研究,不断反思,不断调整与实践,适合我校学情的数学课堂教学模式也逐渐成型.

本文结合笔者参加学校"蓝色经典"课堂教学比武活动,执教浙教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册"等腰三角形"复习课教学实录对这一模式进行阐释.

【关 键 词】等腰三角形,课例描述,教学模式,诠释与研究

作者姓名:俞凯陈丹盛

工作单位:舟山市普陀区教育局教研室

舟山市普陀区东港中学

:13758045968,13967229995

基于以学定教的"备·议·导·练"四要素建构式数学课堂

------以"等腰三角形"复习教学为例

摘 要:我校的课堂教学改革已经历时两年,从"学·议·导·练"模式改进到现在的"备·议·导·练"四要素模式,这是一个从入模到出模的变化,它既是一次理念上的蜕变,又是一次技术上的进步.使原来线性的僵化的机械的课堂模式,转变成了能根据学科特点,教学内容,自由组合四大要素的灵活的课堂教学模式,具有更强的可操作性和科学性,充分体现了以学定教,学为中心的课堂教学理念.

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关 键 词:等腰三角形,课例描述,教学模式,诠释与研究

"备·议·导·练"四要素模式,经过全组教师的反复研究,不断反思,不断调整与实践,适合我校学情的数学课堂教学模式也逐渐成型.本文结合笔者参加学校"蓝色经典"课堂教学比武活动,执教浙教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册"等腰三角形"复习课教学实录对这一模式进行阐释.

一、课例描述

1.备

"备"即学生备学,也就是为学习新知而进行有意义的准备学习,就像是体育比赛之前的准备活动.其具有知识热身,发现问题,调整状态的作用,为后续的新知学习打下基础.所以,教师必须有目的的布置具有补偿性,准备性的任务,为学生的后续学习起到搭梯架桥的作用.

发给学生预学单是为了给学生指明备学的方向,作为数学学科的备学不能局限于课本相应的章节篇目,或以简单的课前练习来代替.本节课特设计如下预学单,预学单的内容分为四块:(1)预学导航,(2)知识链接,(3)操作篇,(4)基础训练篇1.

【预学导航】

1.应清楚地了解和掌握等腰三角形和等边三角形的定义,性质和判定,这些是解决问题的基础和关键.

2.能灵活地运用等腰三角形的有关知识进行推理和计算,提高对几何问题的逻辑分析能力.

3.等腰三角形的性质往往与三角形全等紧密相连.

【知识链接】

1.三角形的三边关系:三角形的两边之和__第三边,三角形的两边之差__第三边.

2.三角形的内角和等于________

3.三角形中的重要线段:中线,高线,角平分线.

4.线段中垂线的性质定理:中垂线上的点到线段两端点的距离

【操作篇】

借助工具如何说明一个三角形是等腰三角形

所选工具:依据:

所选工具:依据:

【基础训练篇1】

1.等腰三角形腰长为5,底边长为4,则周长为________

(依据:)

变式:等腰三角形两边长分别为5和4,则周长为________

等腰三角形两边长分别为5和2,则周长为

2.等腰三角形一个顶角的度数为50°,则这个三角形的底角度数为_____

(依据:)

变式:等腰三角形一个内角的度数为50°,则这个三角形的顶角度数为____

等腰三角形一个内角的度数为100°,则这个三角形的顶角度数为___

3.已知等腰三角形两内角的度数之比为1:4,则这个等腰三角形的顶角的度数为

你的解题心得:

【设计意图】备学坚持"根本,简单,开放"原则.根据教学要求和学生原有经验设计,不限制思维,不同层次的学生能得到不同的发展.备学内容主要是准备与学习新知相关的旧知,备学方式不仅可以书本复习,也可以是动手实验,资料收集等.因此,在本课预学单的设计上特别安排了操作篇及知识链接这一环节,旨在复习与三角形有关的旧知,以提高备学的实效性和针对性.

2.议

"议"即小组议学,也即小组学习和帮助学习,也就是学生之间开展合作学习.这种学习方式能促使不同层次的学生都能共同提高,是学生主体作用的集中体现.

课堂实录:

片断1(引入篇)

教师手持一等腰三角型模型展示.

师:预学单中的操作篇你是如何解决的

生1:可以用量角器测量两个角的度数,如果相等,那这个三角形就是等腰三角形.理由:有两个角相等的三角形是等腰三角形.

(教师板书:两个角相等的三角形是等腰三角形.)

生2:也可以用直尺测量两条边的长度,如果相等,那这个三角形是等腰三角形.理由:有两条边相等的三角形是等腰三角形.

(教师板书:两条边相等的三角形是等腰三角形.)

师:这是我们学过的等腰三角形的两个判定方法.这节课老师和大家一起再次走进等腰三角形.

(出示课题:再识等腰三角形)

师:下面小组交流预学单中的基础训练篇1(学生小组合作交流,教师巡视指导).

再请小组派代表回答.

生3:周长为14cm.理由:等腰三角形两条腰长相等,5+5+4等于14cm.

(板书:等腰三角形性质1:等腰三角形两腰相等.)

生4:如果是已知两边分别为5,4,则周长要分类讨论,有两种情况,如果腰长为5,三边长是5,5,4,周长就是14,如果腰长为4,三边长是4,4,5,周长就是13.

生5:如果是已知两边分别为5,2,则周长只能是一种情况:5+5+2等于12cm,另外一种5,2,2,不能组成三角形.

生6:等腰三角形中顶角A为50°,则底角为65°,理由:因为等腰三角形两个底角是相等的,180°-50°,再除以2就是底角的度数.

(板书:性质2:等腰三角形两底角相等)

生7:如果是已知等腰三角形的一个角为50°,要分两种情况讨论,如果这个角是顶角,则底角为65°,还有一种情况是这个角50°是底角,那顶角是80°.

生8:如果一个角为100°是顶角,则两底角分别是40°,如果一个角为100°是底角,那么这个三角形不存在.

生9:如果是等腰三角形两个角之比为4:1,则顶角也应该分为两种情况讨论,一种是三个角之比为4:1:1,顶角为180°×等于120°,还有一种是4:4:1,顶角为180°×等于20°

生9:可以设其中一个角为x,则其它角为4x和x,列方程:x+x+4x等于180°,可以把x求出来.

师:能想到方程来解决问题非常棒!同学们有没有什么解题心得想跟同学分享或提醒同学注意的

生10:在解等腰三角形题目时,如果边角不明确,往往需要分类讨论.

师:归纳得非常好,等腰三角形题目往往需要分类讨论.

(投影显示:小结:在解等腰三角形的题目时,经常会运用分类思想讨论,以防止掉入数学"陷阱"!)

【设计意图】本环节为基础训练篇,题目较简单,虽有小陷阱但让学生以小组议的方式自行解决,能提高学生的辨析能力.小组学习是学生学习,成长的基本组织,是学生身心最放松的学习,成长环境,在学生学习和成长中发挥的效能,是教师教育不能代替的.鉴于此,考虑让学生充分交流,让学生在一定的感性认识基础上,通过互动交流,把间接经验(同学们讲的)和直接经验(自己的经验)结合起来,相互印证,才能达到对知识的真正的理解和融会贯通.

3.导

"导"即导学,也即教师的讲授,是教师发挥主体作用对学生进行知识传授的过程.这一过程是教师最熟悉,最擅长的过程,也是教师最易犯错误的地方——滥讲,泛讲.导学最重要问题是教师应该导什么,怎么导,应在了解学生学情,了解学生需求,了解《课程标准》基础上进行导学.

片断2(基础篇)

师:在等腰三角形中取一点D为BC的中点,连接AD,∠B等于55°,则∠BAD等于

生11:因为D为BC的中点,AB等于AC,所以AD⊥BC,∠BAD等于180°-90°-55°等于35°,

理由:等腰三角形三线合一.

(板书:性质3:等腰三角形三线合一)

师:那这一小问题还有其它的解法吗

生12:可以先算出∠BAD的度数,因为D为BC的中点,所以AD平分∠BAD,∠BAD等于35°.

师:若E是AD上任一点,你能判断△BEC的形状吗

生13:△BEC是等腰三角形.因为DE是BC边上的中垂线

所以BE等于CE,△BEC是等腰三角形.

师:能想到利用中垂线的性质非常不错.

生14:也可以证△BDE≌△CDE得出BE等于CE,就证出△BEC是等腰三角形了.

师:非常好,利用全等去说明两条线段相等是我们常用的手段,但这里显然哪一种证法更简单

生:第一种.

师:我们研究几何图形除了可以从边,角,内部去研究外,还可以考虑它的整体性,那么等腰三角形还有什么性质

生:轴对称性.

师(边对折手中的等腰三角形模型边问):那么对称轴在哪

生(较多同学一起回答):是顶角平分线所在的直线.

师:也可以说是

生:底边中线或底边高线所在的直线.

(投影显示变式1)

变式1:若BE,CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,△BEC还是等腰三角形吗为什么

生15:还是等腰三角形,因为BE,CE分别平分∠ABC和∠ACB,

所以∠EBC等于∠ABC和∠ECB等于∠ACB,所以∠EBC等于∠ECB,△BEC是等腰三角形.

(投影显示变式2)

变式2:若继续过E作FH∥BC交AB于F,交AC于H,则图有几个等腰三角形

生16:有5个.因为FH∥BC,所以∠AFH等于∠ABC,∠AHF等于∠ACB,∠FEB等于∠EBC,所以△AFH是等腰三角形,又因为∠FBE等于∠EBC,所以∠FEB等于∠FBE,△FBE也是等腰三角形.同理可证△HCE也是等腰三角形,再加上已有的等腰三角形△ABC和已证的△BEC,所以共有5个等腰三角形.

(投影显示变式3)

变式3:若已知∠FBE等于30°,图中有几个等边三角形

生17:因为∠FBE等于30°,所以∠ABC等于60°,△ABC是等边三角形.

师:这里你是用了等边三角形的哪一个判定方法

生17:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

师:这里还有其它的等边三角形吗

生17:还有,△AFH也是等边三角形.因为∠AFH等于∠ABC等于60°,∠AHF等于∠ACB等于60°,

所以△AFH也是等边三角形,理由是有两个角是60°的三角形是等边三角形.

师:这位同学非常好给出了等边三角形的另一种判定方法.除了这两种外,还有同学想要补充的吗

生18:还有三边相等的三角形是等边三角形,三个角相等的三角形是等边三角形.

师:很好.如果又已知BF等于5,你能求出△AFH的周长吗还能求出△ABC的周长吗

生19:可以的.这里很容易可以证出△FBE≌△HCE(ASA),那CH等于BF等于5,刚才已经证出△FBE与△HCE都是等腰三角形,所以FE等于BF等于5,HE等于CH等于5,那FH等于10,等边△AFH的周长就是30了.

师:那△ABC的周长呢

生(较多同学齐声回答):是45.

师:在这一图形中有一个在等腰三角形题目中经常可以看到的模型,哪位同学来归纳一下

生20:三角形遇到平行线和角平分线就会出现等腰三角形.

师:讲得很好,我们要注意角平分,线平行,则形等腰.

(投影:小结:角平分+线平行,则形等腰.)

【设计意图】本环节巧妙地设置了几个问题串,在复习等腰三角形"三线合一"与"轴对称"这两个性质的同时穿插了对特殊的等腰三角形----等边三角形的性质和判定的回顾和应用,并最终引导学生得出"角平分+线平行,则形等腰"这一重要模型.根据学生的情况,围绕学习内容的重点,难点,疑点和生成点进行导学,关注学生学习过程中的新问题,知识生成点,并加以敏锐的捕捉,及时进行精当的讲授与点拨,把学生的思维引向深入.

1.4练

"练"即固学,也即当堂巩固.也就是学生对所学知识进行检测加以应用实施创意的过程.

片断3(拓展篇)

(投影显示)如图:已知△ABC是正三角形,D是BC中点,以AD为边作正三角形ADE.①求证:AC⊥DE,②求∠DCE的度数.

师:刚才的小题目看来难不倒大家,那么我们来看道重量级的,请继续接受老师的挑战.如图,你能证出AC⊥DE吗

生21:因为△ABC是正三角形,D是BC中点,所以∠BAC等于60°,AD平分∠BAC,所以∠DAC等于30°,又因为△ADE也是正三角形,所以∠DAE等于60°,∠CAE等于30°,AC是∠DAE的角平分线,AC⊥DE.

师:这位同学显然采用三线合一来证,非常简便,还有其他解法吗

生22:很容易证出∠DAC等于30°,那∠AFD等于180°-60°-30°等于90°,那AC⊥DE了.

师:也可以,那∠DCE的度数呢请大家把求解过程写在数学本上.

(学生在本子上写出解答过程)

师:哪位同学来跟大家说说你的解法.

生23:因为D是BC中点,所以AD⊥BC,∠ADC等于90°,接着可以证△ADC≌△AEC(SAS),


所以∠AEC等于∠ADC等于90°,∠DCE等于360°-90°-90°-60°等于120°.

师:这位同学用了四边形内角和来解,非常有新意,但这里证出△ADC≌△AEC后,我们还可以得到哪一对角相等,

生(集体回答):∠ACE等于∠ACD等于60°.

师:那是不是可以马上得到∠DCE等于∠ACE+∠ACD等于120°

生:是.

师:还有其它解法吗

生24:因为AC是DE的中垂线,所以DC等于CE,△DCE是等腰三角形.CF平分∠DCE,所以∠DCE等于2∠ACD等于120°.

生25:证△DCF≌△ECF也可以得出∠DCE等于120°

师:同学们想出了非常多的证法,很好.那么在这个图中你还能找到全等三角形吗

生26:△ABD≌△ACE.

师:非常好.现在我们变换一下点D的位置,你还能求出∠DCE的度数吗(投影显示)

变式1:D是BC上任一点,其他条件不变,求∠DCE的度数.

生27:还是有△ABD≌△ACE.理由是:因为∠BAD+∠DAC等于∠CAE+∠DAC等于60°,所以∠BAD等于∠CAE.又因为AB等于AC,AD等于AE,所以△ABD≌△ACE(SAS),∠ACE等于∠B等于60°,∠DCE还是120°.

师:这位同学思路很清楚,现在老师继续变动点D的位置,我们来看一下(投影显示变式2).

变式2:D是△ABC内一点,△ABC与△ADE仍为正三角形,∠BDC等于100°,∠ADB等于α,则当α为多少度时△CDE是等腰三角形(此题给予学生充分的思考时间)

师:有想法了吗

生28:老师,我发现△ABD与△ACE仍旧全等.可以得到∠AEC等于∠ADB等于α.

师:那么还有角可以用含α的式子来表示的吗

生28:有∠CDE等于360°-100°-α-60°等于200°-α,还有∠CED等于α-60°.

师:那么你有什么想法

生28:我知道了,只要让∠CDE等于∠CED就可以得到△CDE是等腰三角形了,也就是说只要让200°-α等于α-60°就行了,可以解出α等于130°

生29:老师我想补充一下.我认为还有另外两种情况,可以让∠CDE等于∠DCE或者∠CED等于∠DCE.

师:可∠DCE的度数不知道啊!

生(较多学生齐声回答):用180°去减其他两个角就行了,是40°.

师:那么由这两种情况,我们可以得到关于α的等式为

生30:200°-α等于40°或α-60°等于40°,可以解出α为160°和100°

师:看来解等腰三角形的题目我们要经常想到用分类讨论.在这个题目中我们也发现无论点D在什么位置,始终有ABD≌△ACE,变中有不变,这也是值得我们关注的.

【设计意图】教学任务结束以后,教师都会以选择,填空,问答,证明等形式来加以检测.但是我们认为这样的题目还仅仅停留在应用阶段,属于浅层次的思维状态,在课堂结束阶段还应该让学生的思维状态再次进入到高级思维状态,那就是利用所学知识进行创意性的应用.因此,本环节设计中的"练"是以所学知识为载体,以学生创造性思维培养为目的,精心设计的固学内容.通过变换点D的位置,让学生体会一题多变,一图多变,形似质不同,形变质相同等,加深对本节重点内容的理解,有助于提高学生的发散思维能力和探究创新能力.

二、诠释与研究

1."四要素"指向学生学习力的培养

学习力是学生在日常生活和课堂学习中逐步形成的学习经验和学习能力.学习能力的培育与生成重点在以学习能力为核心的行为系统,而"备议导练"课堂教学四要素为学习能力的行为系统形成搭建了很好平台.

"备",学生在新知学习前做有意义的学习准备,所以,有助于培养学生独立学习能力,同时,备学是激活原有经验,能够起到查漏补缺作用,对学生学习习惯和和学习责任培养大有裨益.

"议",学生在课堂进行相互讨论,相互帮助解决问题,有助于培养学生合作能力和表达能力.小组议学优秀生起着主导地位,当他把所学得的知识讲解给其他同学听的时候,其自己习得的知识将更加扎实,全面和牢固.成绩稍欠的同学,不再为跟不上老师的节奏,进度而烦恼,也不再游离于课堂之外.议学不仅是学习共同体,更重要是学生成长的共同体.

"导",教师引导和讲授.当学生遇到不可解决的问题,教师就要对难点,重点,疑点与生成点,做精准的点拨,讲解和传授,学生要做就是听与思,听中有思,听中有辩.思考自己刚才解题什么知识没掌握,辨别自己解题思路出现了什么错误,这都有助于学生倾听能力,思考能力和思辨能力的培养与提高.

"练",学生运用新知进行练习巩固和创意性的应用.在这过程中,查漏补缺,自我纠错,思维创意,是学生对自己掌握知识的一种完善与确认及创意应用,培养了学生反思能力与创意能力.

2."四要素"运用主张"双主体"教学策略

我们认为四要素课堂教学应该坚持学生,教师都为双主体策略.在"备","议"阶段,是以学生为主体,但学生数学知识有限,学生在备学,议学时,会遇到无法解决的问题.这时,教师就必须转化为主体,进行精准的点拨,讲解,传授,为学生排疑解惑.所以,课堂的主体随着问题解决与否而转换.这样的课堂,学生能解决的问题和不能解决的问题都能够得到解决,促进课堂的高效."备议导练"四要素课堂教学汲取了传统教学精华,糅合了学为中心课改理念,是一个集两者的大成.

3."四要素"运用原则

一是坚持以学为中心的课堂教学原则."备议导练"四个要素,是以学为线索课堂结构要素,如果教师的讲授通贯课堂,远离了"学"为中心,变成了以"教"为中心课堂,即使有象征性的"备议导练"四要素,这就不是我们期望的课堂.

二是灵活组合原则.为实现课堂高效,"备议导练"四个要素可以灵活组合,设计合适的课堂教学方案.即以教学要求,内容与课型,学情来决定方案,让教学不再受模式限制,增加了教师自由发挥的空间,更好地为学生的学提供保障.所以,不同教学内容,不同课型,不同学情与教师的个性,任何一个条件的变化,要素组合顺序可能不同,形成方案也不同.但不管这么变化,"备议导练"要素的组合必须符合课堂逻辑,适应学生学习思维.

三是坚持教师主导原则.学为中心课堂教学四要素,以学生为本,课堂的中心是学生的学,但并不是让教师放弃课堂,学生自主学习并不是"自流"学习,"备议导练"四要素实施都必须在教师指导下进行,教师对学生如何"备",如何"议","练"什么,自己怎样"导"这些都必须要有开放式的详尽预案.教师是学生学习的组织和维护者,是学生学习障碍的扫清者,教师在学生学的过程中起着指导和保驾护航作用.我们不可想象一个教学目标不明确,无序的教学环境会出现良好的教学效果.

总之,"备议导练"是不分学科的课堂教学泛要素,是课堂教学的指导性要素,在实际运用中必须与数学特色相结合,根据课型,教学内容等特点,灵活组合,派生出适应于数学教学特点的教学策略与方法,从而促进教师专业成长和学生全面发展,实现课堂教学的高效.