机械设计理,专业硕士生课程设置

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几何课程设计方式的比较分析

--直观几何,实验几何与综合几何课程设计的国际比较

孔凡哲史亮

(东北师范大学基础教育课程研究中心130024)(东北师范大学附中130021)

《数学通报》2006年第10期:7~11

自《几何原本》[1]诞生的两千多年来,关于几何课程的研究一致持续不断,尤其是,近年来,国际教育界关于几何课程设计方式的研究有了突出进展,不同于《几何原本》的综合几何课程设计风格的新型设计方式(如,直观几何,实验几何)逐渐趋于完善.了解这些不同风格的几何课程设计,对于研究几何课程改革大有裨益.本文拟从课程设计的视角,试图诠释中外中小学几何课程改革的一些困惑,讨论义务教育阶段几何课程设计的特点和发展趋势.

一、直观几何,实验几何课程设计特点分析

课程设计是新课程的关键环节之一.一般地,课程设计有学术理性主义取向,认知发展取向,人本主义取向,社会重建主义取向,科技取向等多种价值取向.作为义务教育阶段的几何课程设计,自然有多种设计方式,直观几何,实验几何与综合几何就是差异较大的课程设计风格.

简要地说,所谓直观几何,通常是指作为直观层面的几何学,而实验几何意指作为一种实验活动出现的几何学,而综合几何特指以往所指的几何学,它以论证几何为主体,综合利用几何方法,并借助一些代数公理和几何直观.直观几何,实验几何有时也称为经验几何等人们在观察,实践,实验的基础上积累了丰富的几何经验,形成了一些粗略的概念,反映了某些经验事实之间的联系,形成了实验几何.我国古代,古埃及,古印度,巴比伦所研究的几何,大体上就是实验几何的内容".

当然,这里的"实验几何"究竟是叫直观几何还是实验几何,还是兼而有之,尚可以商榷,斟酌.

对于实验几何的作用和功能,有学者认为[5],"首先,通过对几何图形的旋转,翻折,平移,拼接或拆分等各种运动来发现一些几何事实或几何关系,其次,通过一些开放性的几何问题猜想结论或探求条件,培养学生对开放性问题的灵活,主动,富有创造性的思维能力,第三,对于问题从多角度进行综合思维,尝试,寻求多解的渠道或研究几个问题的共同本质,发现规律,获得统一的结论,最后,解决处理应用问题,主要包括一些实际问题引出的几何问题,或有应用背景的几何问题和一些可以用几何方法解决的实际问题".这些观点的确反映了实验几何的一些作用和功能.

从课程设计的视角看,直观几何,实验几何具有论证几何(综合几何)无法取代的课程功能和教育作用,这些功能和作用集中体现为:


(1)论证几何在培养人的逻辑思维能力方面起着重要作用,而实验几何则是发现几何命题和定理的有效工具,在培养人的直觉思维和创造性思维方面起着重大的作用.

正如丁尔升先生指出实验几何更贴近人类的生活空间和日常经验变高速的论证技巧为不同水平的创造活动还可以改变以往数学那种枯燥乏味的形象,变几何学习为一种趣味活动,并在这种活动中培养学生的观察能力,实验能力,创造力以及归纳类比能力,这些一般能力的培养对提高人的素质具有重要的意义.基于上述观点,许多人主张重视实验几何的教学.与,许多人反对把公理系统过早地引入中学几何,从而使几何的学习成为一种形式的学习.和逻辑推理)能力.

(2)呈现方式的鲜活气息

在直观几何,实验几何课程设计中,严格孤傲的公理体系,单调乏味的点线面,被生动有趣的生活哲理,以及变换多姿的可视图形所取代,这改变了综合几何严谨,抽象,枯燥的呈现方式,几何达到了它从未有过的丰富程度,表现出勃勃生机.

正如N.杜勃林教授在评论《直观几何》[2]一书时所说的,《直观几何》从人类文化的视角展示了几何的古老美丽和生机,强调学习几何的价值,不仅在于训练思维和它的实际应用,更在于它所蕴涵的文化因素,揭示了几何的内在魅力,这也是几何吸引学生的实质.

(3)几何的现实性与理性思维的和谐统一

在直观几何中,学习内容是相当现实有趣和富挑战性的,并通过各种不同的自然方式呈现出几何与自然社会的联系,学生可以在自己生活的周围世界中亲身感受这种联系,有效地综合利用它获得必备知识.如,

《直观几何》[2]从俄罗斯宏伟,典雅的建筑展示了圆弧的存在及对称的效应,从"雅典王泰西战胜弥洛陶罗"的古希腊神话引出了奥妙无穷的迷宫知识,教材每节前言中的数学史话传说,故事和生活事例,可以不经意地引发学生对生活几何的思考,从而引起学习它的.同时,数学游戏,谜语等问题的加盟使得《直观几何》充满了无尽的乐趣与挑战.此外,《直观几何》内容的呈现,也注意了学生的差异性,根据学生知识背景和认知发展水平的不同,由浅入深,循序渐进地让他们主动从事观察,实验,猜测,验证,推理,交流等数学活动,以提升他们对数学的认识.

直观几何并没有放弃几何教育的主体目标,在大量的实践操作中可充分锻炼学生的逻辑思维,空间想象,演绎推理等多种数学能力.

或许有人会对直观几何产生如下的疑问:充分展示几何的直观性,从文化角度考虑几何,必然会放弃几何自身的严谨性,系统性,条理性,学生理性思维的培养将被严重削弱,几何的教育功能也就会丧失.对待上述疑问可从《直观几何》的习题中找到答案.事实上,习题的非形式化呈现方式不同于传统几何教材中的数学式题目,对于学生理性思维的训练也更显灵活性,趣味性[7],易于激发学生的学习兴趣,促使他们主动探索.

(4)从课程设计的角度,对几何教的过程与学的过程重新定位.

张奠宙先生在《直观几何》中文版[2]的前言中将几何学习概括成四个步骤—直观感知,操作确认,思辨论证,度量计算.不言而喻,综合几何重视后两个步骤而严重忽视前两个步骤.事实上,对12岁以下的绝大多数儿童来说,过早地进行纯粹的思辨论证及枯燥的计算,不仅可能压抑了学生的发展,同时也可能扼杀了几何的生机.

在直观几何,实验几何课程设计观下,几何的学习应从学生生活经验中所熟悉的形体入手,藉由本身的知觉,经过操作与实测,以察觉,辨识几何形体的组成要素及其与几何形体之间的关系,进而能确定空间的基本概念,掌握基本性质,进行简单的推理.

几何的启蒙活动应该藉由探索,研究与讨论生活中的形体,充分使用学生的几何概念,熟练地描述与表征周围的环境.这些实验,观察,探索的活动需要不断地安排在不同的学习层次中,探索形体的要素,发现性质,找出形体间的关系,让学生透过有趣的操作实践活动更多地了解几何世界,促进他们几何思维的发展.

因而,在学生的几何学习历程中,几何课程设计应当给学生提供机会,让他们探索,观察,感觉,构建和分解身边的几何形体,进而就像用画图,模型或计算机一样去创造世界.

二、直观几何,实验几何课程设计特点与综合几何的对比

在人们的心目中,综合几何根深蒂固,而综合几何的源头和代表仍属欧几里得《几何原本》[1].长期以来,人们仍将改编于《几何原本》的传统中学几何课程称为综合几何.直到现代,还有人这样认为:关于三角形和圆的初等综合几何,希腊人已经阐述得尽善尽美了.但实际情况并非如此,整个十九世纪,人们对此又进行了令人信服的深入研究,即使现在看来,这一研究领域仍然没有到头,有关三角形和相关的点,线,圆的大量综合探讨性论文已经并且正在继续发表.不少研究资料已经引伸到四面体及伴随的点,线,面,球.

与综合几何相比,直观几何,实验几何有着更现实的意义和课程设计的特色:

1.不同的课程目标和价值取向.

从课程设计的角度看,直观几何与实验几何更接近于认知发展取向的课程设计模式,而综合几何属于典型的学术主义价值取向的课程设计模式.

不难发现,两种课程设计模式,一种重视空间观念,几何直觉基础之上的逻辑论证,另一种则主要关注逻辑论证和几何公理体系,一种重视"直观感知,操作确认,思辨论证,度量计算"的全过程,而另一种则重视对几何问题的思辨论证和计算,一种主张"通过几何的学习发展发现几何真理的能力和确认几何真理的能力",而另一种则是仅仅关注确认几何真理的能力,一种是过程为本,兼顾结果的课程设计风格,而另一种则是学科中心的课程设计模式.

2.不同的教育学,心理学基础和不同的师生关系.

以论证为主的综合几何课程设计,立足于行为主义心理学,主张师生之间建立"以教为主,以教促学"的师生关系.

相比之下,直观几何,实验几何课程设计观认为,有意义的几何教学应当建立在学生的主观意愿和知识,经验基础之上,依赖学生的动手实践,自主探索和交流合作,教师在教学中的角色应该定位在学习的组织者,引导者和合作者,参与者,注意学生在学习中所处的不同文化环境,教室文化,社区文化,家庭文化及自身思维模式的共性与差异,师生之间,学生之间应该努力构建一种和谐,互动的新型关系.

3.不同的课程设计风格

在课程论中,课程有学科课程与经验课程之分.除了学科型和经验型的课程外,大多数课程介于两者之间.学科课程依托的是作为一学科的科学体系.学科型课程的教材通常由从定义出发的逻辑链条构建而成,一般要分科,且结构清晰文字叙述清楚要点鲜明,教师用起来比较顺手.特别,使用这样的教材比较容易实现教师在备课过程中预先设的课堂教学目标,短短一节数学课总能按计划完成一个,两个,甚至多个具体任务.另一方面,这种教材的面貌一般会比较抽象,题材离学生熟悉的生活比较远,留给学生思考与想象的空间不大,教师虽然好教,可能对学生有挑战性,未必好学.长期以来我国中小学数学教材比较接近这.这也经常成为人们衡量教材的参照系.经验型课程依托的是学生的经验.经验型课程的教材通常是从具体的情景出发,这些情景有的是学生生活中熟知的真情实景,有的可能是学生喜欢的童话,传说,科幻故事中的现成题材,有的就是学生自己已有的数学知识积累.从情景出发的教材通常把新的数学内容隐含在情景后面,把原本在学科型课程条理清晰的不同学科方向和盘托出.这样的教材一般都题材丰富,读起来引人入胜.由于教学的空间主要依赖于学生对情景问题的理解和分析,离不开学生自己的新发现,灌输式的教学方法基本无效美国教育百科全书出版社98年出版的《情景数学》教材彻头彻尾的经验型课程教材,这是一套为美国10-14岁(介于我国小学高年和初中低年级之间)学生编写的整教材的标题系统没有一点数学的味道,都是诸如"上上下下","影子的故事","干和湿"等等,如果不深入进去,无法判断这些标题下面讲的是什么数学内容,只有看完读懂了才为其中设计的精巧而折服这套教材从头至尾用一串串的问题组成,通过一个接一个提出问题一步一步引导学生走入由代数,几何,统计构成的数学世界.有的是在抽象的学科主线中不断闪现出内容丰富的情景问题,有的把丰富的情景问题沿的主线镶嵌与展开按照乌申斯基的说法直观的教学不是以抽象的概念和词语为依据,而是以学生直接感知的具体形式为依据.几何是研究平面图形的形状,大小和位置关系的科学,培养和提高学生识图作图能力是学好几何的.首先是直观和经验,接着是说理与抽象,最后是演绎的方案.首先在小学出现直观几何,先让学生对几何图形及其性质形成直观,然后向初中的实验几何过渡,也就是让学生自己动手操作,拼拼,画画,剪剪结合小学讲的几何初步得到新的结论,性质,再用这些简单的图形性质进行简单的逻辑推理,做到言必有据.在此基础上再论证几何.以直线形为例,先借助直观认识一个直线形,进而借助多种手段合乎情理地发现它的某几何性质,接着通过演绎推理把这个性质搞定.看上去,强化了直观和实验,弱化了推理,上,这里直观和推理者都很重要,而且两者之间互为支撑,有互逆的性质.让直观几何和推理几何并重,把发现和证明绑在一起,与传统的几何课程体系确有不同.直观和实验几何的触角伸向了小学低年级,同时欧氏几何的体系和内容具体要求降低了,这种降低一对推理几何的难度要求有所限制,另弱化了相似形和圆(包括圆与直线之间的关系)的证明部分.弱化了的部分也还会在高中继续出现.以"立体—平面—立体"为主要线索强调与学生生活的联系适当地拓宽活动领域包括图形的认识,图形的变换,图形与位置等方面以实际操作,测量,简单推理为具体处理方式,强调学生的直观体验(几何课与实际活动课有天然的联系)学习的方法操作+"推理注重发展的空间观念发展对图形的审美能力小学几何的性质直观几何,单纯几何计算我国如果以世界为参照系,仅就关于推理证明的要求这一点而言,在这个年龄段我们最高.)有的学者(如,史宁中教授)也将合情推理称为直观推理.

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