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运用方法论,就是在你进行日常教学的同时,用本文倡导的关 键 词,

解题表,来指导驾驭你的教学.这就使得方法论变得容易把握了.

人们为了理解周围的世界,就把自己的观点和思想组织成概念的体系.这种概念的体系就是用数学语言和方法构建成的模型.

数学,作为解决问题的一种技术,它的方法框架可以是如下那样的,是由关 键 词与解题表组合成的一个系统:

《通性通法与笛卡儿模式》数学方法论的关 键 词与解题表

第一章和谐扩展(每一单元是怎样开始与展开的)

本章数学方法的关 键 词是:矛盾生长点扩展和谐

数学,总是从一些简单的数形现象中,从自身存在的内在矛盾的揭示中,提

出问题,这就是数学的生长点.由此出发,数学自然地扩展了.而在这发展的整个

过程中,总是注意保持着内在的和谐,即一些主要的原理,原则始终仍然成立.

导语表一

一个学习阶段结束,就要想:数学,还可作怎样的扩展又如何保持体系的和谐

△学了这些内容后,数学上还有什么重大的内在矛盾或缺陷,需要加以解决么

△考虑到相关的内容,又联系实际的应用,你意识到数学还有什么方面的内容(生长点),是可以与值得去开发的么接着又如何扩展

△为了保持科学内容内在的和谐,你认为,扩展中最重要的是要使哪些原理,原则仍然成立

新的一个单元开始,就要想:过去的哪些内容,哪些思想方法,还将继续的发

挥作用,还要继续的在新的单元中运用

第二章笛卡儿模式(可化为方程函数的问题.重在前半部的"列")

本章数学方法的关 键 词是:形式化方程(不等式)函数途径选择

笛卡儿认为,极大多数数学解题,是把一个个条件变成方程,只是一个解方程或方程组的过程.这就是通称的笛卡儿模式.

解题表二

数学问题面前,首先要把条件一一用符号表示出来！形式化的主要内容,常是把等量关系变为方程

△引入适当的符号！问题有多少个条件一一分开条件的各部分！

△你能用方程(不等式)或函数(算式)的形式表出这个问题么

△本题涉及的未知量,关系比较的多,你将如何对众多的未知量,关系作出恰当的选择,以便能够顺利求解

△从不同的视角,用不同的符号,本题可得出什么样的不同的看法与表示

法么(途径的选择).就是说,设置其他的未知数,参数,问题能有什么不同的

表示法么

第三章数学的形式操作(可化为方程函数的问题.重在后半部的"解")

本章数学方法的关 键 词是,形式操作变形代换引参消元化归

一种观点认为:数学解题是连续化简的形式操作的过程.又有一种看法是,

数学解题是一个个反应块的不断连接的双向化归的过程.

解题表三

有了方程,不等式组,就要想:怎样把方程解出来！有了函数,就要研究函数的性质.

△从条件出发,可以推出或可以算出什么了吗你能从各方程,不等式推出

或解出什么吗

从已知的形式,你想到了可以作,需要作哪些变形

从本例条件的特殊性出发,你认为作哪些代换比较合适本例需要引入

参数么,引入什么参数为合适

需要消去一些元么消去哪几个较为恰当又怎样消元

怎样研究本例的函数,用变换法,还是用图象法

哪一二个是本题的关键性条件由此条件可得出,解出什么吗

第四章排除逼近与猜测(标准化试题)

本章数学方法的关 键 词是:标化题的特殊性排除逼近图象利用

敏锐的直觉

解选择题要利用选择支,并从中只选择一个.能排除逼近,自然是要利用的

,解填空题只要答案不必写过程.这两种题,能直觉猜测也是一条可取之道呵.

解题表四

某选择题,几个选择支.有什么特殊之处可供利用的么某一个填空题,又有什么特殊之处值得特别关注的么

△从本例的问题情境,有哪些特殊情形哪些极端情形

△从特殊情形出发,你得出了什么没有用极端情形作试验,可以猜测什么

排除什么

△问题的各个选择支,给了你哪些启发与提示

△可以从问题的什么特殊情形或极端情形出发,求取某填空题的答案么这

样做,对正确解答有什么影响没有

第五章映射反演(数形结合题)

本章数学方法的关 键 词是:有联系的领域映射与本质关系关注细节

中学数学问题概括起来,是数与形的问题.这两大表现形式,既是两两对应

的,又是可以互相转化的.所以,映射反演自然地就成为一条解题之大道了.

解题表五

映射的本质就是:外表非常不同的对象,本质关系却相同！

△这一个领域与哪些领域之间,存在什么本质上的关系又是怎样的联系

△可以或需要把问题映射到另一领域中去么映射后,问题的条件如何用

符号的形式(方程,不等式,函数)表示出来

△这样的映射等价么解答后,需要弥补一点什么吗(关注细节)

△这个题,特殊与特别之处在哪里是否可以映射到另一领域来解,可能

倒是个突破之法呢！

第六章顺推逆溯(证明题)

本章数学方法的关 键 词是:顺推逆溯分析综合猜测基本图形(基本问题)

证明题,条件是己知,利用它解题是一种顺推,结论也是己知的,利用它解题则是逆溯.同时关注这两种方法是必须的.有时还要利用直觉,猜证结合.

解题表六

证明题,有条件,又有结论,它们都是可以且应该利用的信息.一定要学会:既能

顺推一些,又要会逆溯！

逆溯:要证明这个结论,需要或可以去先证什么

顺推:从这个己知出发,可以推出什么吗

顺推一些,又逆溯一些,可以找到它们的衔接点了么关于中间结论你有

什么可能有用的猜测没有

△这一类证明题有哪些基本图形有哪些基本问题它们分别有些什么结论

与结果

第七章分解讨论(分类讨论题)

本章数学方法的关 键 词是:困难因素分解讨论途径与顺序难点处理

压轴题(难题)之难,之新,往往就在于它有一个新型的较难处理的条件.

处置之道通常是对它进行分细与分解.一种是分细,细了就较易解决,一种是分

解,分了,难者就不难了呵.

解题表七

问题较复杂,就要想到:能否作分类——分解讨论求解

△能将问题分成几步来解么这样分步求解简单(得多)了么

△从哪些层面,角度(困难因素),你发现,本题拟以分解讨论法求解为好

△需要将问题以什么为准,分哪几种情形进行分解讨论求解较为适宜

△对于这几种分类讨论的情形,你认为,应怎样安排解答的顺序,最为妥当

△这样的分解讨论题的难点,重点又在哪里

第八章从最简单的开始(创新试题)

本章数学方法的关 键 词是:例举(从最简单的开始)试验归纳

演绎类比

对数学来说,"从最简单的开始","归纳",就是它的最重要的思维方法.

可以直白的说,创新题,就是为它而设置的.

解题表八

创新型试题,就是要从最简单的情形开始,从中去发现规律性的东西！它的创

设,就是要你"会归纳"——数学的最重要方法之一.

△本题应从怎样的"最简单的情形开始"(例举)！这些情形,应以怎样的方

式呈现为最妥最佳

△从最简单的情形开始,可以做一点什么样的试验给你带来了什么样的启

发没有

△由试验的一些结果看,可以归纳出什么规律性的东西没有有了这些归纳,

你认为,本题可以进入解答了么

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