应用数学专业

(此文也是2016年全国第八届初等数学研究会论文一等奖)

有理倍角三角形三边关系探求

孙世宝

安徽省丹阳中学243121

[摘 要]本文解决有理倍角三角形三边关系及倍角三角形的几个相关猜测

[关 键 词]有理倍角三角形齐次多项式切比雪夫多项式高斯取整函数递推公式

一引言及引理

中,记其三边之间的齐次多项式方程为

杨世明老师在《中学生文库》一书中求得:

并指出可由约去非零因子得到

后来王航老师在文献[1]中求出了时的的最简式并提出了3个问题

猜测1最简的的次数是

猜测2若将表为两个齐次多项式之和,前一个具有因子

后一个不含字母则后一个含因子

问题3能求出它的表达式或递推式吗

李永利老师在文献和杨峰老师在文献[3]中得到了得到了的表达式但次数却是.李国祥老师在文献[4]得到的式子是含根号的.

为了解决这些问题,先介绍一个重要结论

引理(切比雪夫多项式)则有下面的三角恒等式成立

(规定)

引理中等式右边关于的多项式的系数都是整数,表示高斯取整函数.

二一个更一般的问题及其解答

笔者研究了更一般情形,即下面的"有理倍角三角形":

的内角若满足为给定正有理数则我们称为有理

倍角三角形记其三边满足的多项式方程为那么最简的齐次

多项式应该具备怎样的形式

问题解答:设且

情形1.

由得到,

利用

上述角的等式可以改写成,取正弦得到

,

展开即

利用正弦定理知,上式可写成:

利用一下引理知:

①

最后利用余弦定理代人①式

就可以得到所需的式子

记①式左边的式子为

则

是关于的齐次多项式,次数

情形2.

这时由,展开得到:

利用引理得到:

②

利用余弦定理,若记上式左边为则,

则

定理1的内角若满足为给定正有理数则我们称为有理倍角三角形记其三边满足的最简多项式方程为(可能相差常数因子),且有如下的结论

类似,略)

其中

中有一个为1时

不妨设即

最简多项式

其中为的整系数次齐次多项式,所含项的系数为

下面给出猜测3中的递推公式,即下面的定理2

定理2的内角若满足为给定正整数其三边满足的多项式方程为那么最简的齐次多项式具有如下的递推公式:

简证在的边上取一点满足

那么由得到

对而言:于是利用的

齐次性知于是等价.

仅相差非零因子,于是只要证明定理3中的递推关系

给出是的次齐次多项式,且所含项的系数为1,而这可以由递推公式递推两次

结合数学归纳法证明.(细节从略,当然用定理1中的通式也可给出证明)

前面的猜测2也是正确的,我们把它叙述为下面的结论

定理3的内角若满足为给定正整数其三边满足的最简的次齐次多项式为.若将表为两个齐次多项式之和,

前一个具有因子后一个不含字母

则后一个含因子

简证由余式定理不含的后一项是利用定理2中的表达式计算得

于是

这样

显然若,现在对被4除的余数进行分类讨论

(1)

(2)

(时,括号内两个数相等)

显见

由此可得猜测3成立.