数学归纳法教学探究

数学归纳法是一种用于证明与自然数有关的命题的数学证明方法.对数学归纳法逻辑基础的准确理解,是教师进行数学归纳法教学的前提.本论文通过对数学归纳法的逻辑基础在教学中的研究和对数学归纳法学习心理障碍的研究来培养学生“观察-归纳-猜想-证明”的思维模式.

关于数学归纳法的教与学阐述的是在教学实践中,身为教师既要掌握数学归纳法的理论,又要结合学生的实际情况讲授数学归纳法的知识点.事实上,在数学归纳法的教学实践中,有些教师不清楚数学归纳法和归纳法的区别与联系,认为数学归纳法就是完全归纳法,有些教师不了解数学归纳法的逻辑基础,有些教师只在意数学归纳法的形式,而忽视它的内涵.由于存在上述的种种问题,给学生造成了很大的困惑.在学习过程中,初学者克服数学归纳法使用程序性的心理障碍是较难突破的,学生因数学归纳法的程序性应用,而造成的思维定势的克服,也是一个需要解决的问题.

一、数学归纳法的逻辑基础在教学中的研究

数学归纳法被明确提出并广泛应用已久,但它的逻辑基础仍是不明确的.直至1889年,意大利数学家皮亚诺发表了《算术原理新方法》,建立起关于正整数的五条公理,才使严格意义下的数学归纳法得以进一步明确.

二、正整数五条公理：

（1）1是正整数；

（2）1不是任何正整数的后继者；

（3）每一个正整数都有一个后继者；

（4）若与的后继者相等,则与也相等；

（5）（归纳公理）若有一个由正整数组成的集合含有1,又若当含有任一数时,它一定也含有的后继者,则就含有全部正整数.

数学归纳法的逻辑基础,即数学归纳法原理.在解决数学归纳法逻辑基础的理解问题中,应从以下两个方面来分析：

其一,数学归纳法的逻辑基础是什么,作为教师要理解到什么程度,教师对待这

一问题的心理和态度.

其二,数学归纳法逻辑基础的教学如何进行,学生的学习心理和接受能力,学生

的理解程度、运用能力和意义.

数学归纳法的教学首先应当是一种程序教学.“程序”是数学归纳法最基本的层次,即数学归纳法证题的两个步骤和一个结论.具体地说,利用数学归纳法证明的步骤如下：

第一步,验证“命题在时正确”；

第二步,验证“若命题在时正确,则在时也正确”.

如果这两个验证都得以通过的话,就可以断言命题对一切正整数都成立.这就是我们通常所说的数学归纳法.

关于这一层次的初始教学,很多教师都采用了“实验-建模”的方法,效果明显,易于学生的理解和接受.其中,最经典的实验模型就是“多米诺骨牌效应”模型.

（1）实验过程

1.准备骨牌或军棋；

2、按顺序将骨牌或军棋排成立起来的长方体,每两个长方体间的距离一定,确保前一个长方体倒下,后一个长方体必定倒下；

3、实验开始,第一个长方体,让学生观察结果.从第二个,第三个,等开始,多次重复上述实验.

（2）实验结果

第个（或2等）.从第个以后的所有长方体依次“倒下”.这种现象称为“多米诺骨牌效应”.

（3）实验分析

条件：1、第个（或2等）.

2、从第个起,检测设前一个“倒下”,一定能使后一个也“倒下”.即第一个倒下能第二个,第二个倒下能第三个,第三个倒下能第四个,等

进一步可以表示为：

检测设第个（全且）“倒下”,那么第个“倒下”.

则实验条件可表示为：

①第个（或2等）；

②检测设第个（且）“倒下”,那么第个“倒下”.

结论：满足上述条件①和②,则从第个起,所有长方体骨牌依次“倒下”.

（4）实验建模

根据上面实验的启发,通过实验建立起数学模型――数学归纳法.

对于一个与正整数.有关的命题满足：

①当时（是使命题成立的第一个值）,命题成立,即成立；

②检测设当（且）时,命题成立,即成立,那么当时,命题也成立,即成立.

由①、②可得,对以后的所有正整数命题都成立.

（5）实验反思

在“多米诺骨牌”实验中,让学生思考以下问题：

①若不任何一个长方体骨牌,其它长方体骨牌能全部倒下吗?

②若在立起的一排长方体骨牌的某一处取走几个长方体骨牌后,那么第一个长方体骨牌能保证其它长方体骨牌全部倒下吗?

反思目的：让学生体会数学归纳法的两个步骤是缺一不可的,并且有效的消除了学生使用这一方法的心理疑虑,增强了使用的信心.

事实上,借助“多米诺骨牌效应”来理解数学归纳法的原理,效果显著.生活中类似多米诺骨牌连锁反应的例子还有很多,如一串质量过硬的燃放着的鞭炮,一排连续倒下的自行车等等.

（作者单位：黄淮学院数学科学系）