柯西定理的两种证明方法

摘 要：柯西定理（柯西中值定理）指的是高等数学中用于求极限和证明不等式、等式的各种性质的微分学基本定理,所以我们还把它叫做微分中值定理.在数学中的微分领域,柯西定理起着十分重要的作用,解决了许多微分方面的难题.柯西中值定理还可看作是拉格朗日中值定理的推广,因为在柯西中值定理中,若取g（x）等于x时,则其结论形式和拉格朗日中值定理的结论形式相同.为了更好的对解决一些微分方面的问题,加深人们对柯西定理的理解,本文对柯西定理的两种证明方法进行了分析.

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柯西定理、拉格朗日、罗尔定理这三种定理统称为微分中值定理,而且它们之间相互关联,都可以通过一定的推算,得到另一个定理.所以对柯西定理的研究,将有助于对其它两个定理的了解,解决一些数学上的难题.

1柯西定理

1.1定理内容

设函数f（x）,g（x）满足：⑴在闭区间[a,b]上连续；⑵在开区间（a,b）内可导；⑶对任一x∈（a,b）有g'（x）≠0,则存在ξ∈（a,b）,使得[f（b）-f（a）]/[g（b）-g（a）]等于f'（ξ）/g'（ξ）成立.我们把这个定理就叫做柯西定理.

1.2定理性质

若令u等于f（x）,v等于g（x）,这个形式可理解为参数方程,而[f（a）-f（b）]/[g（a）-g（b）]则是连接参数曲线的端点斜率,f'（ξ）/g'（ξ）表示曲线上某点处的切线斜率,在定理的条件下,可理解如下：用参数方程表示的曲线上至少有一点,它的切线平行于两端点所在的弦.

与拉氏定理的联系：在柯西中值定理中,若取g（x）等于x时,则其结论形式和拉格朗日中值定理的结论形式相同.因此,拉格朗日中值定理为柯西中值定理的一个特例；反之,柯西中值定理可看作是拉格朗日中值定理的推广.

1.3求极限运用

柯西中值定理的一个极其重要的应用就是可以用来计算未定型的极限.两个无穷小量或两个无穷大量的比的极限统称为不定式极限,分别记00,∞∞,0/∞；0-∞,∞-∞和∞∞型不定式.仔细观察柯西中值定理表达式的形式,可以看到两个函数式的比值,在移动条件下可以化成两个函数的导数的比值,这样就有可能使得作为未定型的分式的分子与分母所表示的函数,我们将以微分中值定理为理论依据,通过求导,建立一个简便而有效的求非未定型极限的方法.我们得出下面这个定理：

⑴两个函数f（x）和g（x）在开区间（a,b）可微,并且在这个开区间上,g（x）的导数不等于0；

⑵存在极限,其中A为一个有限的常数.则在以下情况下：和或者.

那么就有：.

反过来在区间的另一个端点也存在相类似的结果.这个定理就称之为罗必达法则,能有效地应用于未定型的极限计算.

罗必达法则可以运用于7种未定型的极限计算,而最为基本的未定型只有两种：00和∞∞.00和∞∞型的我们都知道,那么在此就不做介绍了.其他的未定型都可以化成这两种形式：

①0；∞型.

通过恒等式：f（x）g（x）等于f（x）1g（x）,从而得到00或∞∞这两种基本形式.

②∞-∞型.

通过恒等式：f（x）-g（x）等于1g（x）-1f（x）1f（x）×1g（x）,从而得到00型.

③00,∞0,1∞型.

通过恒等式,从而得到00,0-∞,∞-∞,00,∞0,1∞型.再进一步化成00或∞∞这两种基本形式.

对于两种基本形式的未定型,直接应用洛必达法则即可,即表示为.

显然这时的条件为f′（x）,g′（x）都存在,并且g′（x）≠0.还有一个不是很明显,因此初学者常常犯错误的地方,就是要求f（x）和g（x）同时以0或者∞为极限.在实际做题时,一定要注意随时验证这三个条件,否则必定会犯错误.

2两种证明方法及分析

2.1第一种

根据柯西定理的条件,通过拉格朗日中值定理可以知道存在使得,而且因为,所以,由此可推出；

做辅助函数；

因为和在[a,b]上连续,在（a,b）内可导,所以也在[a,b]内连续,（a,b）上可导.又因为,所以这个辅助函数是满足罗尔定理的,因此由罗尔定理可以推知至少存在一个点使得,已知,所以原式可化为：.

以上就是第一种证明的方法,这种方法主要是运用辅助方程,将原式化华为可以可以满足罗尔定理的方程,再由罗尔定理来推出结果.这种证明的方式较为简单,适合大多数的人群,而且,它的证明方式还比第二种要直接,所以可以更让人容易理解.

2.2第二种

第二种正面的方法首先要用到两个定理,这两个定理是整个证明的关键,它们是：

（1）设函数在开区间（a,b）内可导,且,则在该区间内的符号相同.

（2）如果函数在闭区间[a,b]上连续且单调增加（或减少）,则在对应的函数值区间[g（a）,g（b）]（或者[g（b）,g（a）]）上比存在着单值反函数,且该反函数也连续并单调增加（或减少）.

证明过程：首先,设,j式为：（它是柯西定理的推广）；

在开区间（a,b）上,所以通过辅助定理（1）可以得到在该区间是同号的,当设时,那么在开区间（a,b）单调增加,且在[a,b]上也是单调增加的.再加上通过辅助定理（2）推出在区间[g（a）,g（b）]上一定存在一个单调反函数,而且它在其定义域内也是连续且单调增加的.

通过在消掉参数方程j当中的x,可以得到一个关于n为自变量的方程

已知函数在区间[g（a）,g（b）]上是单调且连续的,加上在[g（a）,g（b）]上也是连续的,所以我们通过函数的连续性质就可以得到在[g（a）,g（b）]上是连续的.又因为在区间（a,b）内是可导的,而且,所以由反函数的定理得在（g（a）,g（b））内,函数是可导的.

通过复合函数的导数定理可以的得到在（g（a）,g（b））内是可导的,从而得到：,再通过拉格朗日中值定理可以知道存在至少一个点可以让式子成立；检测设,就得到,通过最终的代换,就得到了；即完成了整个定理的证明.

通过与上个证明方法相比较,可以看出,第二种证明的方式更加繁琐,在整个证明的过程当中,很容易发生错误.但是,这种证明方法也有明显的优点,那就是证明的过程更加精细、准确,对相关知识的运用很全面.

3结语

数学函数方面的问题是一直以来各个数学家重点把握的部分,而微积分的运算,是函数中的最为重要的部分.对柯西定理的了解,将有助于我们对许多数学问题的解决,也使我们对微分知识的学习得到提高.未来,也许还有许多不同的证明方法出现,但是却需要我们不断的对它进行探索.