现代数学在机构学中的作用与影响

摘 要：进入21世纪,机构学就成为一门独立的科学,其研究也迎来了崭新的一页,而数学一直在机构学研究中发挥着重要作用.尤其是机构学从传统阶段发展到现代阶段,对其创新设计要求也愈来愈高,数学的作用也变得越来越重要.本文以现代机构学应用领域较为活跃的数学工具――旋量理论和微分流形为例,简述现代数学在机构学研究中所起的作用和对中国机构学发展的影响,展望现代数学在未来机构学研究中的优异前景.

关 键 词：机构学；现代数学；旋量理论；微分流形

一、微分流形与旋量理论概述

1.微分流形

微分流形,也称光滑流形,或称C∞-微分（可微）流形,是指一个被赋予了光滑结构、带有微分结构的描述自然现象的一种拓扑流形.其类型可分为可维映射,映射的微分和子流形（一般的,如果不特指,微分流形指的就是C∞类的微分流形）.

检测设r是自然数,如果满足以下的条件：

（1）M豪斯多夫空间.

（2）m维坐标邻域覆盖M；【存在M的m维坐标邻域族{Uα,φα}α∈A,使得M等于Uα∈AUα】.

（3）任意的α,β∈A,都满足Uα∩Uβ≠ϕ,,定义坐标变换φβοφα-1:φα（Uα∩Uβ）[→]φβ（Uα∩Uβ）为Cr映射（光滑映射）；则被称为是m维Cr可微流形（光滑流形）.

常见的微分流形主要包括流形、流形上的积分、切问题、外微分形式圆与欧几里得空间等概念,欧几里得空间、李群（具有代数群结构的微分流形并且是无线可微的）等就是一种特殊的微分流形.

而要研究流形,陈省身教授指出,要研究整个流形,流形论的基础便成为必要.其研究的主要目的是经过坐标卡变换而保持不变的性质,这也是与一般数学不相同的地方.随着数学的发展和成熟,他提出,传统的实数或附属空间只是局部的情形（虽然在许多情形下它会是最重要的情形）,将来数学研究的对象必然是流形.

2.旋量理论

旋量理论又叫狄拉克旋量,最早由狄拉克提出狄拉克方程引入.旋量又称为“螺旋”,是同时表示矢量的方向和位置的一组对偶矢量.它与微分几何、李群李代数纯代数有差别.旋量既可以表示运动学中角速度和线速度,又可以表示刚体力学中的力和力矩,还可以由对应的角动量来表示.具有物理意义明确、几何概念清楚、代数运算方便、理论难度也不是很高等优点.

我国研究与应用旋量理论最早的学者是黄真教授,他在专著中系统地介绍了旋量理论及它在机构学中的应用,极大程度上促进了旋量理论在机构学领域的发展.

3.旋量理论与微分流形之间的联系

根据上面我们已经明确微分流形和旋量理论的概念,知道了微分流形和旋量理论在研究对象上是相辅相成、互相映射的.

最早出现用李群李代数来系统描述刚体运动是在1978年,当时指出刚体运动的位移空间满足李群的代数结构,但是由于刚体运动具有有限运动的特性,因此随后指出位移群是在刚体位移层面（连续或有限运动范畴）上进行操作的,很难描述刚体运动与力之间的关系.然而值得庆幸的是,旋量（物理量）理论从速度层面（瞬间或微小运动范畴）上描述刚体运动,并与力建立了有机联系,提出了运动与力之间的议题,解决了之前仅仅从位移层面研究刚体运动碰到的难题.所以,从物理上讲,微分流形和旋量理论都是从不同层面上与数学中某种位移群的李代群联系在一起,两者之间是相互映射、互相弥补的.

二、现代数学在机构学中的典型应用

1.结构分析与综合

机构学是研究机械中机构的结构与运动等问题的学科,是机械原理的主要分支,是研究各种机械中有关机构的结构、运动和受力等共性问题的一门学科.

结构分析是很重要的,而创新是当今社会炙热话题,所以要设计出合理、新颖的机构,不仅要有丰富的实践经验,更要明确其组成原理,而结构分析的目的就是了解各种机构的组成及其对运动的影响.

结构综合是机构综合的组成部分之一,包括数综合和型综合.数综合用于研究满足一定的机构自由度前提下,机构将由几个构件和运动组成的问题.型综合用于解决在一定数目的构件和运动副的条件下可以组成多少种型式机构的问题.结构综合的最终目的是要解决机构选型问题.但迄今为止,机构选型还没有形成一种比较普遍适用和系统化的原则和方法,尚需要进一步深入研究.

2.性能分析与评价

我们知道,机构分析的目的在于掌握机构的组成原理、运动和动力性能,以便准确地使用现有机构并充分发挥其效能,抑或为验证和改进设计提供依据.

历经30年的发展,较传统机构学而言,现代机构学具有以下特点：机械产品的概念、方案和创新设计中得到广泛应用；机构输出柔化性和可控性方面得到提高,机构和机器设计理论和方法上更加智能化、系统化和适用化,更加注重考虑动态分析和设计,微机构的应用上开辟了新途径,仿生机械学的开发和应用,机电一体化技术的发展设计,新型机构的创造等应用.

总之,相比于传统的机构学,现代机构学的发展是必然的.

虽然现代数学在某些方面有广阔的前景,但是在一些方面仍有些许不足.所以,创新和完善它们的机构设计和综合方法很有必要.但是,我们也不能忽略对典型的传统机构进行深入研究,因为它不仅仅有利于推动现代机构学的发展,而且现代机构学本身就是在传统机构学的基础上发展起来.

三、现代数学对中国机构学研究的作用

1.中国机构学研究的里程碑

18世纪下半叶,第一次工业革命促进了机械工程学科的迅速发展,机构学在原来机械力学基础上发展成为一门独立的学科.18世纪末至19世纪初,罗蒙诺索夫、欧拉等几何学家和力学家的著作奠定了机构综合理论的基础.到了19世纪后半期,逐步形成了以巴默斯特尔、勒洛为代表,建立在运动几何学基础上的几何学派和以切比雪夫为代表建立在函数逼近论基础上的代数学派.到了20世纪70年代,日本提出了“机电一体化”定义出机械电子学新概念,与此同时,美国则提出是由“计算机信息网络协调与控制的”.所以“现代机械”概念的形成是机构学发展的一个新的里程碑.

2.国家自然科学基金委员会的资助分析与成效

机构学同其他基础科学一样,是一门具有较大深度和难度的探索性学科,需要较扎实的积累基础.它的研究是一个艰苦的历程,往往需要多年乃至几代人的努力才能探索出来.其研究成果贯穿着整个机械工程.据统计,国家自然科学基金委员会在1986至2011年机构学这一学科的各个项目资助约400项,其中涉及运用现代数学工具解决机构学问题的项目有50多项.在国家自然科学基金委员会的支持下,中国机构学在各个研究方向、各个阶段上所取得的成果大都与数学工具密不可分,而近几年来发表的高水平学术论文,大多数都是采用数学工具解决机构学难题.

四、结语

随着科学技术的飞速发展,历经30年的发展后,机构学已经由传统的结构学、运动学和动力学的理论,发展成现代一门研究广义机构的功能、类型、工作原理的基础技术学科.伴随着传统机构学的发展与成熟,现代机构学在很多特殊领域都发挥着重要的作用,如仿生机械的应用和发展、深海海底作业的机器人、宇宙飞船上用于收回卫星的机械臂、腹腔内进行外科手术的手术刀等.而机构学本身就是一门应用性很强的学科,我们必须认清这种发展趋势和机构学发展的重要作用,致力于现代数学对机构学的应用和发展,相信伴随着应用而产生的机构学将更加辉煌.