考研高等数学中线性代数试题

摘 要：本文对于线性代数的内容和题型,对其难度系数进行了打分；通过对难度系数的剖析,说明了在考研高等数学中线性代数部分的解答题（22分）常考的范围,便于考生复习时能够抓住重点,对于考研的同学有一定的指导作用.

关 键 词：线性代数研究生考试高等数学

中图分类号：G64文献标识码：A文章编号：1673-9795（2013）09（a）-0109-04

在考研的高等数学中,满分是150分,线性代数的内容,34分,占大约22%其中选择题8分（两小题）,填空题4分（一小题）,解答题22分（两大题）；本文对于线性代数的内容,根据公式（或概念）的难度,将其难度划分为若干等级,进行打分；对于题型,根据解题时所用的知识点的多少,也将其难度划分为若干等级,进行打分.然后,根据这两个等级,将难度系数进行综合打分.最后,通过对难度系数的剖析,说明了在考研高等数学中线性代数部分的解答题（22分）常考的范围,便于考生复习时能够抓住重点.下面对所给的方法具体解释如下：

对于公式,根据其难度,分为三个等级,其难度系数分布赋予值1、1.5、2.比如,低阶（四阶以下）行列式,其计算公式很简单,难度系数定义为1；再比如,矩阵A与伴随矩阵的关系公式,比较复杂,难度系数定义为1.5.至于用施密特（Schmidt）方法求线性无关向量组的正交向量组,其公式内容较多,且涉及到内积的计算,故难度系数规定为2.

对于有关概念,也根据其难度,分为三个等级,其难度系数也分布赋予值1、1.5、2.比如：对称矩阵的概念,比较简单,难度系数定义为1；再比如,矩阵的特征值和特征向量的概念,涉及到等式,难度系数规定为1.5；至于非齐次线性方程组通解的概念,涉及到一个特解和的通解,而后者又涉及到的基础解系的概念,比较难理解,故难度系数规定为2.

对于题型,根据其解题时所用到的知识点的多少,对其难度进行打分.所用的知识点多,难度系数就高,所用的知识点少,难度系数就低.比如：用初等变换求矩阵A的秩,通过简单的运算,将矩阵化A为阶梯型就可以了,难度系数定义为1；再比如：求齐次线性方程组的解,先用初等变换将系数矩阵A化为阶梯型,据此确定自由变量和基础解系,进而可写出齐次线性方程组的通解.故难度系数定义为3.有时还需讨论是否有非零解,因此,难度系数定义为≥3.

对于所用的知识点,也根据知识的难易和运算量进行打分,比如：对于一般的行列式的计算,难度系数规定为1；对于行列式的计算且需要讨论的,难度系数规定为1.5；对于在一个题目中,多次计算行列式的,比如：用克莱姆（Cramer）法则解线性方程组,多次计算行列式,其难度系数也定义为1.5.

下面我们将线性代数的主要内容和题型,对其综合难度系数进行了如下分析：（见表1）.

近年来,研究生考试中,解答题22分（两大题）,基本上是考察学生综合运用知识的能力.接下来针对近年来的试题作具体的分析,下面的1～14题,见文献[1].

（1）2007年数学一、三（21）,11分.设线性方程组：

（1）

与方程（2）

有公共解,求的值及所有公共解.

难度分析：方程组（1）、（2）有公共解,即由方程组（1）、（2）组成的方程组有解,本题归结为解非齐次线性方程组（含参数）的解.综合难度系数为≥5.题型特点：解含参数的方程组.

（2）2007年数学一、三（22）,11分.

设3阶实对称矩阵A的特征值是A的属于的一个特征向量.记,其中E为3阶单位矩阵.

①验证是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量.

②求矩阵B.

难度分析：验证是B矩阵的特征向量,难度系数为1；易见矩阵B为实对称矩阵,那么已知部分特征值和特征向量,求该矩阵的全部特征值和特征向量,难度系数为4.5；综合难度系数为5.5.题型特点：求矩阵的特征值与特征向量.

（3）2008年数学一、三（20）,11分.

设矩阵,现矩阵A满足方程工,其中

①求证.

②为何值,方程组有唯一解.

③为何值,方程组有无穷多解.

难度分析：求n阶行列式的值,难度系数2；用克莱姆法则判别方程组有唯一解,难度系数为1；求线性方程组的通解,难度系数为5.故本题综合难度系数为8.

题型特点：n阶行列式的计算,解含参数的方程组.

（4）2008年数学一、三（21）（本题满分11分）.

设A为3阶矩阵,为的分别属于特征值-1,1特征向量,向量满足,

证明：①线性无关.

②令,求.

难度分析：线性无关的判别,难度系数为3.5；应用公式,难度系数为1,综合难度系数为4.5.题型特点：

判断方程只有零解,归结为解方程组.

（5）2009年数学三（20）（本题满分11分）.

设

①求满足的所有向量；

②对①中的任一向量,证明：线性无关.

难度分析：求两个求非齐次线性方程组的通解,难度系数为4.5；证明线性无关,难度系数为3.5,综合难度系数为8.题型特点：解方程组.

（6）2009年数学一、三（21）（本题满分11分）.

设二次型

（1）求二次型的矩阵的所有特征值；

（2）若二次型的规范形为,求的值.

难度分析：写出二次型的矩阵A（含有未知参数）,难度系数为1；求矩阵A的特征值,难度系数为2；已知二次型的规范形和特征值,反过来求未知参数,其难度系数为1；综合难度系数为4.题型特点：求矩阵的特征值,求矩阵中的未知参数,解方程.（7）2010年数学一、三（20）,11分）.

设已知线性方程组存在两个不同的解,

①求；

②求方程组的通解.

难度分析：已知线性方程组的部分解,反过来求未知参数,难度系数为3.5；再求方程组的通解,难度系数为3.综合难度系数为6.5.题型特点：求矩阵和向量中的未知参数,解方程组.

（8）2010年数学一、三（21）,11分.

设,正交矩阵使得为对角矩阵.若的第一列为,求.

难度分析：由,可得,由此可知：是A的一个特征向量,难度系数为1；已知矩阵的特征值和特征向量,反过来求未知参数,难度系数为2；再求正交矩阵,使得可以对角化,难度系数为2；综合难度系数为5.题型特点：求矩阵中的未知参数,解方程.

（9）2011年数学一、三（20）,11分.不能由线性表出.

①求.

②将由线性表出.

难度分析：由题设可推得线性相关,难度系数为1；进而,可求得的值；难度系数为1；将一组向量由另一组向量线性表示,难度系数为3；综合难度系数为5.题型特点：求向量中的未知参数.

（10）2011年数学三（21）,11分.A为三阶实对称矩阵,

且.

①求A的特征值和特征向量.

②求A.

难度分析：求A的特征值和特征向量,难度系数为4.5；矩阵的对角化问题,利用,可求得A,难度系数为1.综合难度系数为5.5.题型特点：求矩阵的特征值和特征向量.

（11）2012年数学三（20）,11分.

设

①计算行列式.

②当实数为何值时,方程组有无穷多解,并求其通解.

难度分析：求含参数的低阶行列式,难度系数为1；对的值（含参数）进行讨论,判别方程组是否有解,难度系数为1；在有解的情况下,求方程组的通解,难度系数为3.综合难度系数为5.题型特点：求矩阵中的未知参数,解方程组.

（12）2012年数学三（21）,11分.

已知,

二次型的秩为2,

①求实数的值.

②求正交变换,将化为标准型.

难度分析：已知二次型的矩阵（含参数）和一些条件,反过来求未知参数,难度系数为1；已知二次型矩阵,求正交变换,将其化为标准型,难度系数为4.综合难度系数为5.题型特点：求矩阵中的未知参数.

（13）2013年数学三（20）,11分.

设当为何值时,存在矩阵,使得,并求所有矩阵.

难度分析：设,难度系数为1；由矩阵方程,得到方程组,难度系数为1；由题设通解求,难度系数为1；求方程组的通解,难度系数为2；综合难度系数为5.题型特点：求矩阵中的未知参数.

（14）2013年数学三（21）,11分.

设二次型

.

记

①证明二次型对应的矩阵为.

②若正交且均为单位向量,证明在正交变换下的标准型为.

难度分析：求二次型的矩阵A,难度系数为2；A等于,由此可求出A的两个特征根,难度系数为1.5.再求出A的一个特征根,难度系数为1.综合难度系数为4.5.题型特点：对称矩阵的对角化.

从上面的分析可见,解答题的试题,主要有两个方面的特征：一是题型特征；二是难度综合系数特征.其题型特征主要集中在三个方面：

第一,求未知参数和解方程组.这个未知参数可能出现在行列式中,也可能出现在向量中,也可能出现在矩阵中.而解未知参数,必须要列方程（组）.然后来解方程组.因此,解方程组是重点.

第二,求矩阵的特征值和特征向量.

第三,矩阵的对角化.这包括一般矩阵的对角化和对称矩阵的对角化.

因此,同学们在考研复习时,要重点复习上面的三种题型.

其综合难度系数的特征是：解答题的试题都是出现在综合难度难度系数≥3.5的部分.因此,同学们在考研复习时,要重点复习难度系数表中综合难度系数的≥3.5内容.至于填空题和选择题,主要考察同学们对基本概念的理解以及一定的综合运算能力,只要按照大纲给定的内容认真进行复习就可以了.