数形结合思想在解初中数学题中的应用

新一轮课程改革中的数学课程,其基本的出发点是促进学生全面、和谐、持续地发展,它首先要求学生通过学习数学知识、技能和方法,逐步形成一套自己的数学思想和方法,让学生学会用数学的眼光看待生活中的人和事物,并学会利用数学的方法解决生活中的实际问题.

数形结合就是在形象与抽象思维的交叉运用中,使两种思维互相促进,协调发展,有助于培养和发展学生的空间感和数感,培养学生灵活运用知识、转化知识的水平能力.恰当地利用数形结合,可使复杂问题简单化,抽象问题具体化.

从学习数轴起,我们就开始建立起有理数与数轴上点的一一对应关系.数学教学中,我们正是借助数形结合的载体——数轴,学习研究了数与点的对应关系,相反数、绝对值的定义,有理数大小比较的法则等,利用数形结合思想大大减少了引进这些概念的难度.因而数形结合通常是与数轴、平面直角坐标系相联系的.那么,数形结合又是怎样体现在新课程中的呢?

根据笔者多年的教学实践,数形结合的解题方法在初中数学中的应用,主要体现在以下几个方面：判断有理数大小的关系、代数式变换、解方程及解不等式、列方程解应用题,函数及其图象、平面几何问题、数据统计及简单的三角函数等方面.

一、在有理数中的应用

数轴开始担负起从数理内容向数形结合内容转换的桥梁纽带作用.因为对于任何一个有理数,在数轴上都有确定的点与它唯一对应,所以,如果比较两个有理数的大小,常常可以通过这两个有理数在数轴上对应点的位置关系来判断.虽然我们学习的是有理数,但要记住它的“形”,逐渐渗透数形结合的方法,帮助初中生正确理解并掌握有理数的概念和运算法则.

二、在代数式中的应用

充分利用图形面积相等的关系,进一步从几何的角度来验证公式的正确性,这其中便渗透了数形结合的思想,让学生体会代数与几何之间存在的内在联系,引导学生多角度、多方面来思考问题、解决问题.

三、在列方程（组）解应用题中的应用

列方程解应用题在中学出现得较多,此类题的难点是怎样根据题意寻找等量关系并列出方程.要想突破这一难点,就要根据题意画出对应的示意图,这其中便隐含着数形结合的方法,不论是追击问题,还是行程问题、工程问题、浓度问题等,只要根据题意画出相应示意图,就能帮助学生找出其中的等量关系,进而列出方程,从而突破这一难点.

四、在不等式（组）中的应用

在解不等式（组）时,教师往往为了加深学生对不等式（组）解集的理解,能使学生形象、直观地看到结果,都要适时地把不等式的解集在数轴上表示出来,进而知道原来不等式有无限多个解.在数轴上表示数是数形结合解题法的具体体现,而在数轴上表示数集,要比在数轴上表示数又向前迈进了一步.因此确定不等式的解集时,往往利用数轴更为有效.

五、在函数中的应用

我们教学时会发现图形的特征常常体现着数的关系,运用“数”的规律,数值的计算,就可以寻找出处理“形”的方法,来达到以“数”促“形”的目的.利用图象来表示一个函数,而借助这个图象又可以分析出函数的一些性质和特点,显得直观、明了,为数学的研究和应用提供了极大的帮助.所以,函数及其图象内容着重体现了数形结合的方法,教师在教学时,学生在运用时,如果注重了这个方法,无疑将收到事半功倍的效果.

六、在平面几何中的应用

平面几何中隐含着很多数量关系,从概念的引出到相关公式的推导,从三角形的解法及其实际应用,无不体现出数形结合方法的应用.在解三角形问题时,若先画出图形,使已知的边角关系和未知的边角关系更直观,更有助于问题的顺利解决.

七、在概率中的应用

概率是新增加的内容,其抽象性、难理解性使它成为教学的难点.如果在计算简单事件的概率时,采用画树状图的方法,数形结合,会收到化难为易的显著效果.

八、在三角函数中的应用

通过对上述例题的分析解答,我们不难发现,在初中数学学习中,“数”和“形”会是两个最主要的研究对象,它们之间存在着十分紧密的联系,始终贯穿在整个数学内容之中.如果在平时教学中,注重把“数”与“形”结合起来,斟酌问题的实质,把图形问题转化为数量关系问题,或者把数量关系问题转化为图形问题,不仅可以使复杂的问题简单化、抽象的问题具体化,化难为易,而且对于培养学生数形结合的数学思想方法,形成良好的数学思维有着重要的作用.