高考真题到课本原型

对2014年的向量高考真题进行简要分析,我们就会发现其中以考查平面向量的线性运算、模、夹角、垂直与平行、基底、数量积这些基础知识的居多,大约有十多个省市把对向量内容的考查作为高考试卷上的低中档题.而从知识交汇点考查思维能力和创新意识的试题有天津卷、陕西卷、湖南卷和安徽卷,这些试题对考生的要求比较高.

对于高考备考,我们一向强调夯实基础,回归课本.能力的提高不可能是空中楼阁,也必须从扎实的基本功中提炼升华而来.细看向量高考题,不难在课本中找到它们的“影子”.

考查平面向量的线性运算、垂直或平行

例1（全国新课标卷）设[D,E,F]分别为[△ABC]的三边[BC,CA,AB]的中点,则[EB+FC等于]（）

A.[BC]B.[12AD]

C.[AD]D.[12BC]

解析[EB+FC等于（EC+CB）+（FB+BC）]

[等于12AC+CB+12AB+BC等于12（AC+AB）等于AD.]

原型这道题直接考查平面向量的线性运算,解题思路中涉及相反向量及平行四边形加法法则,平行四边形两条对角线互相平分等内容.

与此题最接近的是必修4课本第89面的例7：[ABCD]的两条对角线相交于点[M],且[AB等于a→,AD等于b→],你能用[a→,b→]表示[MA,MB,MC]和[MD]吗?

关于平面向量的线性运算,必修4课本第92面习题2.2A组第11、12题,第118面复习参考题A组第4题都进行了相关训练.

例2（北京卷）已知向量[a],[b]满足[a等于1],[b等于2,1],且[λa+b等于0λ∈R],则[λ等于].

解析此题的设问是[λ等于]?,而题目条件支持我们轻松求出向量[a和b]的模,因此应该先将条件中的等式变形得到[b等于-λaλ∈R],再运用数乘运算的概念来解决问题：[λ等于|b||a|等于51等于5.]

原型关于数乘的概念,必修4课本第118面复习参考题A组第2题的第（4）小题以选择题的形式专门进行了考查.

在2014年高考试题中还多次出现对向量垂直的考查,涉及的试卷有湖北卷、重庆卷和全国大纲卷.

例3（湖北卷）设向量[a等于（3,3）],[b等于（1,-1）],若[（a+λb）⊥（a-λb）],则实数[λ].

解析

[∵a→+λb→等于（3+λ,3-λ）,a→-λb→等于（3-λ,3+λ）,]

由[（a+λb）⊥（a-λb）]知,

[（3+λ）（3-λ）+（3-λ）（3+λ）等于0,]

[∴λ等于±3.]

原型课本原型是必修4课本第118面复习参考题A组第12题.通过向量垂直的已知条件,得到向量的数量积为零的等式,再依据向量数量积的坐标运算或是由向量的模与数量积的关系[a→a→等于a→2等于|a→|2]求解出答案.

考查向量的模和数量积

山东卷比较单纯地考查了数量积的概念以及其坐标表示.

例4（山东卷）已知向量[a→等于（1,3）,b→等于（3,m）].[若向量a→,b→]的夹角为[π6],则实数[m等于]（）

A.[23]B.[3]C.0D.[-3]

解析[由a→b→等于a→b→cosπ6得,cosπ6等于32等于a→b→a→b→]

[等于3+3m29+m2,解得m等于3.]

原型难度与必修4课本107面的例6相当.属于基本难度的考题.

江西卷的文科第12题则重点考查了向量的模与数量积的关系[（a→+b→）2等于a→2+2a→b→+b→2等于a→+b→2].

例5（江西卷）已知单位向量[e1,e2的夹角为α,][且cosα等于13,若向量a等于3e1-2e2,则|a|等于].

解析[a2等于a2等于3e1-2e22等于3e12+2e22-12e1e2][等于9+4-12cosα等于9],解得[a等于3.]

原型它的原型来自必修4课本108面习题2.4的A组第1题.

对向量数量积进行考查的还有江苏卷的第12题.

例6如图,在平行四边形[ABCD]中,已知[AB等于8],[AD等于5],[CP等于D],[APBP等于2],则[ABAD]的值是.

解析这道题属于中档题,已知条件是数量积,求解的也是数量积.因此要分析条件和求解向量之间的关系.于是我们产生这样的想法,[以AB和AD]为基底,表示[AP和BP],再由已知[APBP等于2]得到关于[ABAD]的等式,从而求出结果.

原型向量的数量积是把向量的长度和三角函数联系了起来,为解决相关的几何问题提供了方便,是一种重要的思想方法.因此同学们在复习中应该熟练掌握.比如在必修5正余弦定理的证明中就用到了向量数量积的方法,使得证明过程简洁明了.

考查平面向量的夹角

例7（四川卷）平面向量[a等于（1,2）],[b等于（4,2）],[c等于ma+b]（[m∈R]）,且[c]与[a]的夹角等于[c]与[b]的夹角,则[m等于]（）A.[-2]B.[-1]C.[1]D.[2]

解法1[∵c等于（m+4,2m+2）],

[又cosc,a等于ca|c||a|],[cosc,b等于cb|c||b|],

[∴ca|c||a|等于cb|c||b|].

又[|b|等于2|a|],[∴2ca等于cb].

即[2[（m+4）+2（2m+2）]等于4（m+4）+2（2m+2）,]

[∴m等于2.]

解法2[由a→等于5,b→等于25,a→b→等于8可得,]

[c→a→等于（ma→+b→）a→等于ma→2+b→a→等于5m+8.]

[c→b→等于（ma→+b→）b→等于ma→b→+b→2等于8m+20.]

[∴5m+85等于8m+2025,∴m等于2.]

解法3对于某些向量问题,如果能够发现其几何意义,并依据几何意义解题会使求解过程非常轻松.以这道题目为例.

因为[c等于ma+b],且[c]与[a]的夹角等于[c]与[b]的夹角,由平行四边形法则可知,以[ma→和b→]为邻边,[c]为对角线的平行四边形是菱形,所以[ma→等于b→],又因为[a→等于5,b→等于25,]所以[m等于2].

原型用数形结合思想可以回避不少运算,体现了“多想少算”的解题策略.在课本上也设计了几道与向量相关的几何意义的训练题,它们分别是必修4课本第108面B组第4题,第118面复习参考题A组第11题、B组第2和第3题.向量复习时可以重点练习、体会.

考查平面向量的基本定理

平面向量基本定理是平面向量正交分解和坐标表示的基础,但有些同学在平时的学习中不够重视,因此在复习中强化对定理的充分认识和理解是很有必要的.

例8（福建卷）在下列向量组中,可以把向量[a]等于（3,2）表示出来的是（）

A.[e1]等于（0,0）,[e2]等于（1,2）

B.[e1]等于（-1,2）,[e2]等于（5,-2）

C.[e1]等于（3,5）,[e2]等于（6,10）

D.[e1]等于（2,-3）,[e2]等于（-2,3）

原型这道题目单纯考查平面向量的基本定理中“基底”的概念,它的原型是必修4课本第118面复习参考题A组第2题的第（6）小题,只是把课本原题的选项中向量的坐标稍作修改.

考查平面向量与其他知识的交汇

数学的系统性决定了数学知识之间必然会存在联系.向量与高中数学一些主干知识,如三角、立体几何、解析几何、不等式等都存在着深刻的联系.它们之间容易形成知识的综合或交汇.因此,向量与其它知识交汇自然受到高考命题者的青睐,应该引起重视.

1.平面向量与二次函数交汇

例9（浙江卷）设[θ]为两个非零向量[a],[b]的夹角,已知对任意实数[t],[|b+ta|]的最小值为1,（）

A.若[θ]确定,惟[|a|]惟一确定

B.若[θ]确定,惟[|b|]惟一确定

C.若[|a|]确定,惟[θ]惟一确定

D.若[|b|]确定,惟[θ]惟一确定

解析令二次函数[f（t）等于|b+ta|2等于|a|2t2+2abt+|b|2,]

[∵|a|≠0,|b|≠0,]

则当[t等于-ab|a|2等于-|b|cosθ|a|]时,[f（t）]有最小值为[|b|2sin2θ,∴|b|2sin2θ等于1.]

因此,当[θ]确定时,[|b|]惟一确定.

2.平面向量与三角函数或解析几何交汇

例10（湖南卷）在平面直角坐标系中,[O]为原点,[A（-1,0）,B（0,3）,C（3,0）,]动点[D]满足[|CD|等于1,]则[|OA|+OB+OD]的最大值是.

解法1由[CD等于1]知,点[D]在圆心为[C（3,0）],半径为1的圆上,

可设[D（3+cosθ,sinθ）,θ∈R.]

[∵OA+OB+OD等于（2+cosθ,3+sinθ）,]

[∴OA+OB+OD等于8+23sinθ+4cosθ]

[等于8+27sin（θ+φ）,]

利用三角函数知识可知,当且仅当[sin（θ+φ）等于1]时,[OA+OB+OD]有最大值[7+1.]

解法2由解析几何知识知,因为动点[D]的轨迹是以[C]为圆心的单位圆,所以[D]点的轨迹方程为：[（x-3）2+y2等于1.]

又[∵OA+OB+OD等于（x-1,y+3）,]

[∴OA+OB+OD等于（x-1）2+（y+3）2],

于是问题转化为求圆[C：（x-3）2+y2等于1]上的点到点[M][（1,-3）]距离的最大值,最大值为[CM+1等于7+1.]

3.平面向量与线性规划交汇

例11（陕西卷）在直角坐标系[xOy]中,已知点[A（1,1）,B（2,3）,C（3,2）],点[P（x,y）]在[ΔABC]三边围成的区域（含边界）上.设[OP等于mAB+nAC][（m,n∈R）],用[x,y]表示[m-n],并求[m-n]的最大值.

解析[∵OP等于mAB+nAC,]

[∴（x,y）等于（m+2n,2m+n）,][即x等于m+2n,y等于2m+n.]

两式相减得：[y-x等于m-n.]

于是将问题转化为求[y-x]在[△ABC]内部及边界求最大值的问题.令[y-x等于t,]由线性规划知识可知,当直线[y等于x+t]过点[B（2,3）]时,[t]取得最大值1,所以[m-n]的最大值为1.

原型与其它数学知识交汇的平面向量试题在课本的很多地方都可以见到,复习的时候要注意.如人教版必修4课本第108面习题2.4B组第2题就是利用平面向量数量积的知识推导了两角差的余弦公式,113面习题2.5B组第3题就是向量和曲线的方程知识的交汇,而121面复习参考题B组的第9题便是用平面向量知识推导解析几何中的斜率公式.我们在复习中要多注意总结解题的数学思想方法,培养自己思维的多样性.

总的来说,向量问题的解决途径一般有两个：一是基于几何直观的几何法,二是基于坐标运算的代数法.向量兼具几何与代数的双重特征,向量解题的工具性作用在于数形结合沟通形与数之间的关系.