微分方程在预测湖水污染浓度方面的应用

中图分类号：X8 文献标识码：A 文章编号：1007-0745（2014）01-0403-01

摘 要 ：本文建立了湖水污染浓度和时间关系的数学模型.根据时间对湖水污染浓度的影响,利用质量守恒定律得出湖水污染情况为： ,建立微分方程模型： ,求解得出湖水污染浓度为 .此模型可为环保等部门进行河流污染情况的预测与治理提供相关依据.

关 键 词 ：微分方程 质量守恒定律 污染浓度

一、问题重述

随着市场经济和现代工业的飞速发展,人类面临着直接危害人类生存的新问题——环境污染.设一容积为v（m3）的大湖受到某中物质的污染,污染物均匀的分布在湖中,设湖水更新的速率为r（m3/d）,并检测设湖水的体积没有变化,试建立湖水污染浓度和时间关系.

二、问题分析

根据题意可知湖水污染浓度受时间和诸多自然因素的影响,在此我们只考虑时间对湖水污染浓度的影响,并将动态问题转化为静态问题来研究,而微分方程是解决这一问题的最佳方法,因此建立出所需的数学模型.

三、模型检测设

1.污染物在湖水中均匀分布

2.湖水的体积恒定

3.只考虑时间对湖水污染的浓度

四、符号说明

c 表示湖水中污染物浓度

t 表示时间（d）

△c 表示湖水中污染物浓度的变化

v 表示湖水的体积（m3）

r 表示湖水更新的速率（湖水的流量）（m3/d）

a 表示外面进入湖水的污染物浓度

五、模型分析

根据湖水的污染物浓度的动态原理,建立出湖水的污染物浓度模型示意图.

六、模型的建立与求解

根据质量守恒定律得出湖水污染量与时间变化的关系为：

令：

建立微分方程数学模型：

即：

根据一阶线性非齐次微分方程求解公式得：

七、误差分析

1.湖水体积受自然因素的影响,而检测设体积恒定有一定的片面性；

2.湖水中污染物的分布不均匀对浓度有一定影响；

3.污染物种类的不同影响浓度的大小.

八、模型评价与推广

1.本模型应用微分方程来解决湖水污染,把动态的湖水转化为静态,使问题变得简洁；

2.得出的结果能够较合理的说明湖水的污染物浓度与时间的关系；

3.在计算中未考虑降雨、蒸发等自然因素的影响,这是本文的不足之处；

4.利用本模型可以解决海水、河水、湖水污染的检测与控制问题,同时为环境污染问题提供了一定的参考.