函数中几个“貌似神异”问题

函数是高中数学的重要内容和难点内容,也是高考的热点之一.函数是一个比较抽象的概念,学生往往不易理解.学习时,应注意准确理解有关概念和定义的内涵,深入分析函数的基本性质.本文讨论函数中几个“貌似神异”的问题,以帮助同学们掌握好这部分知识.

1、定义域与有意义：一般情况下,对于某个函数解析式来说,其定义域就是使得函数“有意义”的自变量的所有取值范围,但如果给定定义域反过来求某个参数的取值范围往往与求定义域不同.

例1：设函数根据下列条件,分别求实数m的取值范围.

（1）函数的定义域是；（2）函数在上有意义.

分析：题（1）中等价于不等式的解集是,所以可以把1、4看成是方程的两根从而解出m等于4.题（2）中等价不等式在上恒成立,可以用分离参数法或根的分布来处理,从而解得m≥5.

对于这两个问题,不少学生容易混为一谈而不加区分,也有的学生虽加以区分但方法却颠倒了,对此教师应帮助学生分析这两个小题的本质区别：对于（1）中是成立的充分条件（不一定是必要条件）.函数在某区间上有意义,则此区间是此函数定义域的子集.

2、定义域与值域：求函数的定义域、值域是函数学习中常常遇到的问题,但对于一类已知定义域或值域求参数取值范围的问题,不少同学还存在错误的认识.

例2：（1）若函数的定义域为R,求实数a的取值范围；

（2）若函数的值域为R,求实数a的取值范围.

分析：这两小题都属于恒成立问题,但仅一字之差而引起的含义截然不同.

（1）中即对恒成立只需即可,即a>2.学生一般都能掌握；而（2）中则要求取遍所有的正数即即可,不要受题（1）的影响而出现错误,因此审题要善于找出题目含义相异之处.

3、有解与恒成立：这是经常考的题型,基本上都是分离字母后,再转为求最值问题.

例3：（1）函数若在上恒成立,求实数a的函数范围；

（2）函数若在上有解,求函数a的取值范围.

分析：这类题我们只要理解到：恒成立,有解,的值域.

4、主元与次元：在函数中含参数的问题通常含有两个或两个以上变元,我们在解题时可视其中一个为主元,其余视为参数,化多元问题为一元问题,常可降低思维难度.

例4：（1）已知函数在上恒成立,求a的取值范围；

（2）已知函数在上恒成立,求x的取值范围.

分析：在同一个题目中,主元与次元是相对的,只有辨清主元与次元,才能使问题简单.一般地,可把已知范围的那个量看成自变量,另一个看作常量.题（1）中应视x为主元,a为参数,可分离参数a后再求最值.即恒成立,,题（2）中视a为主元,x为参数即在恒成立,把看成是关于a的一次函数即可求的.

综上所述,在平时教学中,正确处理函数问题中的形似质异问题,一方面可以加深学生对函数基本知识、基本方法、基本技能的领会与掌握,另一方面还可以锻炼提高思维深刻性、严谨性,增加学生的鉴别防伪能力.

（作者简介：章曜,本科学历,中学二级职称.执教高中数学六年,曾有多篇论文发表和指导学生参加数学竞赛荣获省一等奖.教学工作认真负责,教学方法富有开创性,教学效果显著,深受师生好评.邮编：330100；：18170017020；：864621657@.）