饱和土一维固结电阻网法

[摘 要]考虑层状地基一维固结问题的复杂性,现有解答较为繁杂同时不便应用.文章基于Liebmann电阻网原理,推导了初始孔压沿深度任意分布、荷载随时间任意变化作用下的孔压、平均固结度的解答.该解对于各种复杂条件均具有统一的矩阵表达式,便于编程计算和工程应用.

[关 键 词]层状地基；一维固结；电阻网法；Matlab程序；孔压；平均固结度

中图分类号：TU441文献标识号：A文章编号：2306-1499（2014）08-0191-03

双层地基一维固结问题作为最简单的成层地基固结问题,其在瞬时加荷条件下的解析解最早由GrayH给出.SchiffimanRL等在GrayH研究的基础上,把Terzaghi固结理论运用于成层体系,并得到了针对一系列边界条件和复杂应力历史的层状地基固结问题的解答.

LiebmannG于1956年提出一种运用包含时间电阻的电阻网求解瞬变场问题的方法,称为电阻网法.它的主要思路是基于数学物理方程相似,利用电阻网描述和求解瞬变场问题.Liebmann、Kapplus以及Korthals分别采用电阻网法求解了拉普拉斯方程（Laplaceequation）和泊松方程（Poissonequation）,并将其结果与相应的解析解进行了比较.本文运用电阻网法推导了层状体系下考虑荷载随时间任意变化、初始孔压沿深度任意分布情况下的一维固结电阻网表达式,得到了孔压和平均固结度的解答.通过解的收敛性和精度分析讨论了本文方法的有效性和优点,最后对三层地基的一维固结性状进行了分析.

1.层状地基一维固结的数学模型

考虑如图1所示的荷载随时间任意变化及初始孔压沿深度任意分布情况下的层状地基的一维固结问题.图1中,hi、ki、mvi和Cvi分别为土层i（i等于1,2,等,n）的厚度、竖向渗透系数、体积压缩系数及固结系数；为多层地基的总厚度；σ（z）为初始超静孔隙水压,沿深度任意分布；q（t）为均布荷载,可随时间任意变化,如图2实线所示（图2中q0、qu分别为起始和最终荷载；tc为加荷历时）.

取地表为坐标Z原点,记该点至土层i顶面和底面之垂直距离分别为zi-1和zi.作除土层分布及加荷条件外与Terzaghi一维固结理论相同的检测定,可得变荷载作用下层状地基任意土层i的一维固结微分方程：

（zi-1≤z≤zi；i等于1,2,等,n）（1）

式中：cvi等于kvi/（γwmvi）为第i土层的固结系数；ui等于ui（z,t）为土层i任一深度、任一时间的孔压；为加荷速率.

考虑荷载随时间任意变化、孔压沿深度任意分布的层状地基一维固结问题即归结为满足求解条件式（2）～（5）的微分方程（1）之解ui.

2.基于电阻网法的方程的求解

式（1）可求得解析解,但其解答相当复杂,且不便于实际应用.本文基于有限差分法,利用电阻网法求解层状地基的一维固结方程.

2.1电阻网法

电阻网法是由Liebmann等提出的一种基于相似理论、利用电阻网解算瞬变场问题的方法.其数学描述如下：考虑瞬变场函数h（x,y,z,t）,定

则可以利用电阻网求解函数h（x,y,z,t）.式中：h等于h（x,y,z,t）；K等于K（x,y,z）或K等于K（h,t）；μ等于μ（x,y,z）或μ等于μ（h,t）；ψ等于ψ（x,y,z）、ψ等于ψ（h,t）或ψ等于C（常数）.

若以平面问题为研究对象,电阻网法的原理可阐述如下（对一维或者三维问题可以采用相同的方式）：

式中：Ki、δi（i等于1,2,3,4）分别为中心点与相应节点参数K的平均值、中心点向节点的差分格距；Δt为差分时距.对于式（9）可设计包含Liebmann时间电阻的电路图.

压值uje,0（j等于1,2,等,m）施加于各节点；边界条件可以代入相应的电阻网的顶面、底面作为电压控制条件,如式（13）.对上述两类条件,依据转化系数,可以写出初始电压矩阵：

（19）

层间连续条件可以转化成对应电压的迭代条件作为循环控制条件,如式（13）.