对数思想的产生与

高中人教版新课程标准实验教科书《数学1》“对数函数”一节后面的“阅读与思考”介绍了对数的发明,这是教材编者按照课程标准对数学文化方面的要求而设置的,但其在教学实践中却往往被老师们所忽视.据我们一项关于“高中数学实施新课程9年来应用教材中‘阅读与思考’的调查”显示：教师们普遍认为,“‘对数的发明’表述的是结论性的成果,思想的跳跃度太大,搞不清来龙去脉.”这样,将数学史内容融进课堂教学的立意自然打了折扣.高尔基说：“讲解科学成就的书籍,不仅要阐明人类思维的最终成果,并且要指出人们是如何不断地克服困难和获得正确方法的,从而把读者引到研究工作的过程本身中去.”所以,我们拟循着对数发明的足迹,探索对数思想方法的内涵,了解对数表的发展过程.以期丰富数学课堂文化、促进师生对数学的理解和对数学价值的认识.

1对数发明的背景

15世纪以后,天文和航海引起的大数计算日益激增,繁杂的大数计算不仅花去了人们大量的精力,而且难以精确,非常需要数学上有一种精确而又简便的计算方法.当时,存在这样的思维倾向,即试图用简单的加减运算替代复杂的乘除运算.这种思想在16世纪开始付诸实践,例如,德国数学家、天文学家约翰·维尔纳（J.Werner,1468～1528）曾尝试用三角函数的和差化积公式（三角学在托勒密时代已比较完善）来满足需要,即

计算方法如下：若求小于1的二个数与的乘积可以先由三角函数表查得使的与,然后求出与,再应用上面的公式求出它们和的一半,（未用乘法）就得所要求的数.由于大于1的数可用小于1的数乘上10的正整数幂表示,因此上面的两个公式实际上对于任意两个数都是适用的.但这样做同样繁杂,况且还不能直接应用于除法、乘方和开方.因此,寻找更好的计算方法迫在眉睫.

2对数思想的萌芽

早在公元前3世纪,古希腊著名数学家阿基米德就注意到了下面两数列之间的联系：

1,10,10,10,10,10,等

0,1,2,3,4,5,等

用今天的数学语言来说,这两个数列之间存在着一一对应关系,并且第一列数的乘法或除法关系对应于第二列数的加法或减法关系.可以用第二列数的加、减运算来替代第一列数的乘、除运算,这样就可以使冗繁的乘、除运算转化成较简单的加、减运算.但是他没有把这项工作进行下去.到了1484年,法国医生许凯（N.Chuquet,约1431～1487）在他的著作《算术三篇》（Triparty）的第三部分中将2的正整数幂值（从到）及其对应的指数,列成两列,然后指出第一列的乘法对应于第二列的加法.1544年,德国数学家施蒂费尔（M.Stifel,1487～1567）在他的《整数算术》（ArithmeticaIntegra）中也列出了2的整数幂与其指数的对应表：

重新发现了这个性质,而且还知道了第一列数的乘方和开方关系可以分别转化成第二列数的乘、除关系.但由于这些值的间隔越来越大,他们并不能被用于所必要的计算.这些性质却是对数原始思想的根源,给了后人很大的启发.

3对数的发明

17世纪,英国的约翰·纳皮尔（J.Naeipr,1550～1617）和瑞士的乔伯斯特·比尔奇（J.Bürgi,1552～1632）各自独立地提出了编制一种对数表的思想.纳皮尔首先出版了他的著作.

纳皮尔是针对三角学建构对数的,纳皮尔的对数表（以1分为间隔的角的正弦对数表）及如何使用对数表的简要介绍最早出现在他1614年出版的《奇妙的对数法则的说明》（MirificiLogarithmorumCanonistDescription）中.于1619年出版的《奇妙的对数表的构造》（MirificiLogarithmorumCanonistConstruction）中陈述了造表的依据,阐明了他富于想象力的思想,即用几何学构造一个表来改进算术.我们用现代的数学语言来说明.

如图1所示,设是一条定长的线段,是从点出发的射线.两点分别在上以相同的初速度从左端点开始向右运动,点的运动是匀速的,而点的速度与线段的长成正比（比例常数为1）.当点行过一段距离以后,点行过一段距离,纳皮尔称为的对数.设点作的减速运动的初速度,第一瞬时,它行过一个单位距离,到达点时的速度为

（每个瞬时,都视点作匀速运动）；第二瞬时它行过距离,它在点的速度为；第三瞬时它行过距离,它到达点的速度为；等.在每一瞬时末的速度可依次排成数列：

（1）

对应的,动点从静止开始连续行进后的距离可以排列成另一数列：

0,1,2,3,4,等（2）

纳皮尔称数列（2）中各项为（1）中对应各项的对数.显然,等比数列（1）中两数之积与等差数列（2）中对应两数之和存在着关系,因而可以将乘法转化为加法.由此可见,纳皮尔对数和自然对数是两回事,纳皮尔对数虽然与自然对数密切相关,但又不同于自然对数,它不具有自然对数的性质,它的值随着值的增加而减少.

4对数（表）的发展与完善

当然我们从纳皮尔的运动中还不能详述他的对数表的实际建构过程,纳皮尔的对数表是～每隔的角给出7列数字：

第一列是角的值,第二列是该角的正弦,最后一列是第一列角的余角,第六列是它的正弦是第一列角的余弦,第三列是第二列正弦的纳皮尔对数,第五列是第六列正弦的纳皮尔对数,中间一列是第三列和第五列表值的差.这项成果完全是纯手工完成的,且几乎没有错误存在,花费了20年.

纳皮尔的对数著作引起了英国另一位数学家布里格斯（H.Briggs,1556～1631）的重视,他与1616年不远千里专程从伦敦到爱丁堡看望纳皮尔,两人商定,把对数做进一步改进,使1的对数为0,10的对数为1,10的幂的对数是幂指数,这样对数的性质将成立.但遗憾的是纳皮尔次年去世,布里格斯以其毕生精力继承纳皮尔未竟的事业,1617年他出版的一本小册子《一千个数的对数》（LogarithmorumChilasPrima）,给出了1～1000的14位常用对数表,成为公开发表的第一张常用对数表,其中还包括了纳皮尔对数变为常用对数的证明.1624年布里格斯最重要的著作《对数算术》（ArithmeticalLogarithmica）问世,这本书详细地揭示了求对数的方法,并给出1～2000和9000～100000之间的整数的常用对数,精确到14位小数.1627年荷兰数学家弗拉克（A.Vlacq,1600～1667）补足了2000～9000间整数的对数,并和布里格斯的结果一起作为《对数算术》的修订版出版.布里格斯与弗拉克发表的对数表应用了近300年,直到20世纪才被更精确的对数表所取代.第一个三角函数常用对数表是布里格斯在格雷沙姆学院的同事、天文学教授冈特（Gunter,1581～1626）给出的.他以为间隔计算了30°～90°的正弦和正切精确到7位的常用对数,1620年以《三角法则》（CanonTrianguloram）为名出版.布里格斯晚年也致力于三角函数对数表的计算,以

为间隔精确到13位数字,但未及完成便去世,该项

工作由他的同事、好友盖利布兰德（GalliBrand）协助完成,1633年以《不列颠三角学》（TrigonomethiaBritannica）为名出版.

要造一张对数表,就应该选择合适的底,使得以它为底的对数表造起来容易,用起来方便,那么选什么整数为底最合适呢?以四位对数表为例,如果以10为底,则有对数表的真数N都是无理数,即没法算,用起来也不方便.为了消除这个困难,我们把底数选的大一些,例如,,则真值间隔大了些.再令,则真值间隔小多

了,当然需要继续改造.注意到,命底数,其中纳皮尔造第一张对数

表时,就取.用微积分知识,我们可以选择理性的底数.根据《数学分析》中的重要极限：

,就得到了自然对数的底.并且,根

据换底公式,以其它正数为底的对数只要乘以一个系数就行了.1622年英国斯佩杰尔（J.Speidell）编成了1～1000的《新对数表》.

1668年,尼.梅卡托（N.Mercator,1620～1687）已把对数分解为级数,简化了编表工作.把对数函数展开成幂级数,得到

把换成,则又有

从而,

设是任意正整数,令,则

因此

根据这个公式,从出发,就可以循环地算出正整数的自然对数,当然计算自然对数的近似值时需要根据精度的要求确定应该取几项.

当时,对数的发明“延长了天文学家的寿命”.现在,学生进行对数计算只需按几下计算器,非常方便.作为一种计算工具而言,对数、对数表都不重要了,但是对数的思想方法却仍然具有鲜活的生命力,对数在数学理论中仍具有不可替代的重要位置.尤其具有文化价值和教育启迪的是数学家在完善对数理论的过程中（或说对数表的制作过程中）所体现出来的前赴后继、严谨求实、不断创新和为科学献身的精神,是为后人留下的一笔无比宝贵的精神财富,永远值得后人学习.