八法在手,解选择题易如反掌

高考数学试题的选择题注重多个知识点的小型综合,渗透各种数学思想和方法,能否在选择题上获取高分,对高考数学成绩影响重大．解答选择题要准确、迅速,只有这样才能赢得时间,获取高分,因此我们必须采用合适的解题方法．

直接法就是直接从题设条件出发,运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识,通过严密的推理和准确的运算,从而得出正确选项的方法．

已知抛物线C：y2等于4x的焦点为F,直线y等于2x－4与C交于A,B两点,则cos∠AFB等于（）

A．摇摇B．摇C．－摇D．－

此题是直线和抛物线的常规问题,联立求出A、B两点坐标后转化为解三角形或利用向量求解．联立y2等于4x,y等于2x－4消去y得x2－5x+4等于0,解得x等于1,x等于4．

不妨设A在x轴上方,于是A,B的坐标分别为（4,4）,（1,-2）,

可求AB等于3,AF等于5,BF等于2,利用余弦定理得cos∠AFB等于等于－．选D．

反思直接法是解答选择题最基本的方法,适用的范围很广,低档选择题可用此法迅速求解．只要运算正确必能得出正确的答案,因此在学习中必须提高直接法解选择题的能力．

特殊化方法即用特殊值、特殊图形、特殊位置、特殊函数、特殊数列等代替题设普遍条件,得出特殊结论,对各个选项进行检验,从而做出正确的判断．

已知点G是△ABC的重心,过G作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且等于x,等于y,则的值为（）

A．3摇摇摇B．摇摇摇C．2摇摇摇摇D．

取特殊直线：MN∥BC,此时x等于y等于,所以等于,故选B．

在平面内,已知等于1,等于,·等于0,∠AOC等于30°,设等于m+n（m,n∈R）,则等于（）

A．3B．±3C．D．±

本题采用特殊位置和特殊值来处理,将O,A,B放在平面直角坐标系中,A（1,0）,B（0,）．

由于∠AOC等于30°,所以点C的位置分别在第一和第四象限．不妨取m等于1,则C1,±,

所以n等于等于±,所以等于等于±3,故选B．

反思当选择对象在题设普遍条件都成立的情况下,用特殊化方法进行探求,能清晰、快捷地得到答案,即通过对特殊情况的研究来判断一般规律,是解答本类选择题的最佳策略．

筛选法就是从题设条件出发,运用定理、性质、公式推演或通过取特值逐步剔除干扰项,从而得出正确的判断．

若f（x）等于x2－2x－4lnx,则f′（x）>0的解集为（）

A．（0,+∞）

B．（-1,0）∪（2,+∞）

C．（2,+∞）

D．（-1,0）

f（x）的定义域为（0,+∞）,排除B、D；

又f′（x）等于2x－2－,且f′（1）等于2－2－4等于－4<0不符,故选C．

已知a与b均为单位向量,其夹角为θ,有下列四个命题：

P1：a+b>1圳θ∈0,π；

P2：a+b>1圳θ∈π,π；

P3：a-b>1圳θ∈0,；

P4：a-b>1圳θ∈,π；

其中真命题为（）

A．P1,P4B．P1,P3

C．P2,P3D．P2,P4

当θ等于0时,a+b等于2>1,符合,P2为检测；

摇摇摇当θ等于π时,a-b等于2>1,符合,P3为检测；故选A．

反思筛选法适用于不易直接求解的选择题,即使能够直接求解,用筛选发排除选项也能大大提高解题速度．它与特殊化方法、图解法等结合使用是解选择题的有效方法．

代入法即将各个选择项逐一代入题设进行检验,从而获得正确的判断．

已知复数z等于cosθ+isinθ（0≤θ<π）,则使z2=－1的θ的值为（）

A．0摇摇摇B．摇摇摇C．摇摇摇D．

当θ等于0时,z等于1,z2等于1不符；

当θ等于时,z等于i,z2等于－1；故选C．

（代入时要先挑容易计算的代）

已知函数f（x）等于x－1－x+1,如果f（f（a））等于f（9）+1,则实数a等于（）

A．－摇摇摇B．－1摇摇摇C．1摇摇摇D．

由题意知f（9）等于8－10等于－2,f（9）+1等于－1,所以f（f（a））等于－1．

再将四个选项依次代入函数f（f（a））看哪个的值等于－1,

ff－等于f等于－1,故选A．

反思代入法适应于题设复杂,结论简单的选择题．若能根据题意确定代入顺序,则能大大提高解题速度．

摇摇图象法即根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形,借助几何图形的直观性作出正确的判断,即数形结合法．

函数y等于的图象与函数y等于2sinπx（-2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）

A．2摇摇摇B．4摇摇摇C．6摇摇摇D．8

在同一坐标系中画出两个函数的图象,两个函数的图象都关于点（1,0）成中心对称,两个图象在［-2,4］上共8个交点,每两个对应交点横坐标之和为2,故所有交点的横坐标之和为8．

图1

函数f（x）等于lgx－sinx的零点的个数为（）

A．2摇摇摇B．3摇摇摇C．4摇摇摇D．5

转化为方程lgx－sinx等于0,即lgx等于sinx根的个数的问题．

令y等于lgx,y等于sinx,即原问题转化为这两个函数图象的交点个数问题,作图：

图2

从图上直接看出共有4个交点,即函数f（x）有4个零点．

反思：对于明显具有几何特征的代数问题,我们要思考能否用数形结合的方法解决．

“能割善补”是解决立体几何问题常用的方法,巧妙地利用割补法,可以将不规则的图形或几何体转化为规则的图形或几何体,使问题得到简化,从而缩短解题时间．

一个四面体的所有棱长都为,且四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为（）

A．3π摇摇B．4π

C．3πD．6π

如图1,将正四面体ABCD补成正方体,则正四面体、正方体的中心与其外接球的球心共一点,因为正四面体棱长为,所以正方体棱长为1,从而外接球半径R等于,故S球等于3π．选A．

图3

反思在求不规则图形的面积、不规则几何体的体积或涉及几何体的外接球时,经常用到“割补法”．

由于选择题提供了唯一正确的选择项,解答又无需过程．因此可以猜测、合情推理、估算而获得,以便减少运算量．

图4

如图4,在多面体ABCDEF中,已知平面ABCD是边长为3的正方形,EF∥AB,EF等于,EF与平面ABCD的距离为2,则该多面体的体积为（）

A．摇摇B．5摇摇摇C．6摇摇D．