中职数学建模教学

摘 要：中职数学教学越来越得到重视,而数学教学的最终目标是培养学生学数学、用数学.在中职院校开展数学建模教学,既是对学生数学思维能力的培养,更是对学生用数学解决实际问题的能力培养.

关 键 词 ：中职数学；数学建模；教学探索

《中等职业学校数学教学大纲》提出：要求学生能对工作和生活中的简单数学相关问题,作出分析并运用适当的数学方法予以解决.依据所学的数学知识,运用类比、归纳、综合等方法,对数学及其应用问题能进行有条理的思考、判断、推理和求解；针对不同的问题（或需求）,会选择合适的模型（模式）.大纲更突出对学生分析与解决问题能力及数学思维能力的培养.

一、中职数学建模概述

随着社会的发展,数学的作用越发得到重视,数学建模也被人们认识.数学模型是把对研究对象观察到的一系列结果和实践经验,总结成一套能反映其内部因素数量关系的数学公式、逻辑准则和相关算法.这些公式、准则和算法是拿来描述和研究客观现象的规律.数学模型就是对实际问题的一种数学表述.中职数学建模教学是指按照教学大纲要求和目标,根据现实问题,结合中职生的特点所开展的数学建模教学.

整个数学建模过程就是将呈现的实际问题进行分析,归纳出所要使用的数学模型,对建立的数学模型进行求解,最后将解还原到现实问题,即分析问题―建立模型―解答数学模型―还原与验证这四个步骤.

二、中职数学建模的意义

1.通过建模有效促进学生学习数学的兴趣

中职生数学基础比较薄弱,而对于新鲜事物比较感兴趣,通过数学建模,可以使抽象化的数学知识具体与形象,可以使复杂的问题变得简单、直白,利于学生学习兴趣的提高.

2.通过建模培养学生学数学、用数学的能力

通过建模为学生提供一种学数学、用数学的氛围,学生要思考可能涉及哪些知识,自己能不能独立使用所学知识,通过建模又学会了什么知识,学生在不断的建模中感受到数学的使用价值.

3.通过建模培养学生的数学思维能力

在整个过程中,学生会思考问题如何转化,如何建模,有无参考模型,如何解模、还原、验证.在主动分析思考中,促进学生数学思维能力和创新能力的发展.

三、中职数学建模的应用

数学思想的精髓是一种桥梁作用,许多学科都是建立在数学的基础上的.数学建模教学的例题不是数学问题,而且是生活中比较实际的问题.根据数学教材的编排,中职数学教学中涉及的数学模型主要围绕方程（组）、不等式（组）、函数、数列、解三角形、几何等建立模型,教师要从建模角度出发,把基础知识与应用相结合,使之符合学生的认识规律.

1.建立方程、不等式模型

近年的江苏省单招数学试题逐渐重视对不等式知识的考查,在主观题方面还出现了专门解不等式的解答题.这类应用问题都与不等式有关,需要根据题意建立不等式,提高学生的迁移能力.

某商品进货单价为10元,销售价为15元,商品保管运输费用是0.1x2（x为商品数量）,需要解决这几个问题：销售数量为多少时,可以获利?想获利40元以上,销售量应控制在什么范围内?如何理解获利是解决问题的首要条件,并将其转化为数学关系是本题的关键.根据分析可以相应建立不等式10x+0.1x2<15x,15x-（10x+0.1x2）>40.处理此类实际问题要求我们具备一些生活经验,把要解决的量用数学关系表达,从数学关系入手来分析量的关系.

2.建立函数模型

函数模型,在中职数学中主要包括直线型、二次函数、指数函数、对数函数等.主要是与销售预测、估计人口变化趋势、利润最大或成本最小等有关.如投资生产A产品时,每生产100 t需要资金200万元,需场地200平方米,可获得利润300万元；投资生产B产品时,每生产100 t需要资金300万元,需场地100平方米,可获得利润200万元.现某单位可使用资金1400万元,场地900平方米,应作怎样投资组合,可使获利最大.

思路分析：这是一个二元线性规划问题,需要先将有关数据整理成表格,通过表格来理清数据间的关系,分析出其实质就是在资金和场地满足条件的情况下,使A、B产品的生产达到某种相对的平衡,从而使利润最大.即根据表格设出A、B产量和利润S,列出所有与A、B相关的约束条件,并写出目标函数S,最后作图利用可行域求解.

此例说明紧扣现实问题分析很重要,厘清各量间的关系和约束条件,使问题变得更清晰,也便于学生主动参与.因为线性规划在实际生产生活和科学研究中有着广泛的应用,学生可以从中体会到数学的应用价值.

3.建立数列模型

这里的数列模型,主要就是与等差数列和等比数列相关,如银行贷款,细胞分裂等建立等比数列模型.如小王年初向银行申请住房公积金贷款30万元,月利率0.3375%,按复利计算,每月等额还贷一次,并从贷款后的次月初开始还贷,10年还清,那么每月应还贷多少元.

对于这类问题,通过分析发现涉及等比数列知识,可以考虑建立一个相应的数学模型,检测设一次性付款为a元,以分期付款的形式等额地分n次付清,每期期末所付款为x元,利率为r,则分期付款可以理解成：应付a元,实际要付a（1+r）n元,第一次付款时的终值为x（1+r）n-1,第二次付款时的终值为x（1+r）n-2,依此类推,第n次付款时的终值为x元,从而得出x[（1+r）n-1+（1+r）n-2+（1+r）n-3

+等+（1+r）+1]等于a（1+r）n,化简得到分期付款的模型x等于.借助此模型的构建,学生得出每月应还贷额,也理解了如何解决此类等额分期付款计算,让学生体会到数学与我们的经济生活息息相关,学习数学是有用的,有必要学好数学,并为生活怎么写作.

4.建立解三角形模型

三角知识与实际生活生产的联系紧密,是整个中职数学中学生最难掌握的部分,其难点在于涉及的内容太多,在实际应用中难以下手,特别是在解斜三角形的实际应用中最突出.建好三角模型不仅有助于解决生产生活问题,也能促进专业课教学. 如图1,海中小岛A周围38海里内有暗礁,船向正南航行,在B处测得小岛A在船的南偏东30°,航行30海里后,在C处测得小岛A在船的南偏东45°,如果此船不改变航向,继续向南航行,有无触礁的危险.通过对实际情景的分析,借助于三角知识,将问题引申到解三角形,找出角A,利用正弦定理可以得出AC,最终A到BC的距离为15（+1）>38,不需要改变航向,从而较方便的解决实际问题.当然我们还可以通过举例曲柄连杆机活塞运动等,利用三角模型求活塞移动距离,用数学模型来解决专业课学习中的的问题,促进学生专业课的发展.

5.建立几何模型

数学建模的主要任务是学着用数学.几何模型主要是借助于数形结合,把数量关系转化为几何表示,通过数与形来解决实际问题.如某城市交通规划中,拟在半径为50 m的高架圆形道侧某处开一个出口,以与圆形道相切的方式,引出一条直道接到距圆形道圆心正北150 m处的道路上,计算出口应开在圆形道何处.

分析要将其转化为几何问题,首先要建立适当的直角坐标系,通过求过圆上切点的切线方程计算出口的位置.在转化成数学语言后,本例的核心就是找出切点的坐标.

建立如图2所示的直角坐标系,根据条件得出圆形道的方程为x2+y2等于50,引伸道与北向道路的交接点C的坐标为（0,150）,出口开在点P处,设P（x0,y0）,则切线PC方程为x0x+y0y等于502,易得x0等于±,根据现实问题,因为点P在圆心的东边,所以x0等于,进一步确定出口P的坐标 加强此类问题建模教学,可以让学生真正感受到数学就在身边,激发他们主动参与探究数学的乐趣.

四、中职数学建模教学注意事项

数学教育所教给他们的应该是未来生活中最有用的那些内容,应该是提高他们灵活运用数学知识去处理周围现实生活中的实际问题的能力,而数学建模教育恰恰能做到这点.

建模教学是中职数学教学的难点,在建模教学中我们既要考虑到学生的基础能力,抓好基础知识教学,又要不断渗透数学建模意识；既要重视对实际问题的分析,又要引导学生的主动参与,突出学生的主体地位,发挥学生的主观能动性；既要将数学知识与实际问题靠拢,又要考虑建模的合理性；既要与数学知识相联系,又要与专业学习相联系,突出中职教学的特色.