具有反应扩散的变时滞细胞神经网络的平衡点与周期解

【摘 要】本文利用Brouwer不动点理论并结合定理条件,进一步研究了具有反应扩散的变时滞细胞神经网络平衡点和周期解的存在性、唯一性与指数收敛性.本文提高和扩展了以前的结果,对以后更加全面的研究该类网络的全局稳定和周期振荡的设计与应用更加具有创新性与实用性.

【关 键 词 】细胞神经网络；反应扩散；平衡点；周期解

1.微分方程模型介绍及预备知识

众所周知,时滞细胞神经网络[1-4]的周期解及动力学行为的重要结果已被广泛应用于许多领域如模式识别、图像处理、信号分析等方面.本文是在文献[4]的基础上,利用Brouwer不动点理论和文中定理的条件,进一步研究了具有反应扩散的变时滞细胞神经网络平衡点和周期解的存在性、唯一性与指数收敛性,这对以后更加全面的研究该类网络具有指导意义.

本文考虑具有反应扩散项的变时滞细胞神经网络（RDCNNs）,它由下面方程组描述：

(1)

式中：和光滑函数分别表示轴突信号传输过程中的延迟和扩散算子；表示在神经网络不连通且外部附加电压差的情况下第个神经元恢复孤立静息状态的速率；,是常数,表示第个神经元在时刻的输出对第个神经元的影响程度,表示第个神经元在时刻的输出对第个神经元的影响程度；,分别表示状态变量和空间变量；为输出函数,为输入函数.

引理1[4] 检测设系统(1)的每个输出响应都满足Lipschitz条件[5],且有下式成立：

(2)

则对于系统(1)的任何一对解和,在t0时,都存在两个常数和,有：

其中,, 是的Lipschitz常数.

2.平衡点及周期解分析

定理1 对系统(1),如果每个输出响应在R上有界并且连续,则该系统至少有一个平衡点.

证明 若是系统(1)的一个平衡点,则：

(3)

分别记：

并且：

则方程组(1)可表示为下列向量形式：

定义映射:,使得对于,有：

现在我们来证明：映射至少有一个平衡点.

事实上,因为每个是R上的有界函数,故存在常数,使得有：

（常数）

记,则,因此：

显然是到的连续映射,根据Brouwer不动点定理,至少有一个不动点,使得是系统的一个平衡点.

由引理1及定理1可得下面推论.

推论 检测设系统(1)的每个输出响应在R上是有界的并且满足

Lipschitz条件,如果有：,

则下面两结论都成立：

(1)系统(1)有唯一的平衡点；

(2)系统(1)的唯一平衡点是全局指数稳定的.

定理2 检测设系统(1)中每个输入函数都是以为周期的周期函数,如果满足定理1的条件,则系统(1)有唯一的-周期解,并且任意解都指数收敛于.

证明 对及,有：

即：

特别地： (4)

取充分大的自然数N,记,定义如下映射：

P：CC,且,其中：

则：,,

(5)

由(4)及(5)式得：

因为为压缩映射,所以存在唯一不动点,使得：

又因为,所以.

即有

检测设是系统(1)的一个解,并且是系统(1)的另一个解,满足对有,则：

所以对有,即是以为周期的周期解.

下证此周期解是唯一的.

若系统(1)存在另外的周期解,可得：

即,则,因此周期解是唯一的.

设为系统(1)的任意一解,由上面的证明可得

所以,指数收敛于,至此定理证毕.