数列求和方法

【摘 要】求数列的前n项和是高中数学的教学重点之一,也是高考常考察的知识点之一,有些数列比较有特点,我们可以总结一些方法来求和.

【关 键 词 】数列；求和；公式；方法

求数列的前n项和是高中数学的教学重点之一,也是高考常考察的知识点之一,有些数列比较有特点,我们可以总结一些方法来求和,也有些一些数列既非等差数列,又非等比数列,那么这些数列该怎样求和呢?下面举例说明一些特殊和不特殊的数列求和的常用方法.

一、公式法

如果是等差、等比数列可直接利用其求和公式求和,而有些特殊的常见数列则应记住其求和结果,以便于应用.如

本题中,如果不能确定x的值,那么用公式求和时还得注意对x进行分类讨论,即：x等于1和x≠1两类.

这道例题是可以直接应用公式进行求和的,所以这种求和方法称之为“公式法”,在数列求和中能直接用公式求和的是最为简单的数列求和了.

二、分组求和法

有些数列,通过合理分组,从而改变原数列的形式,转换成新数列,再利用我们熟悉的等差、等比公式法求和.

分组求和要注意对数列的通项的研究,从通项入手发现数列求和时应该怎样分组才合适.

三、倒序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列（倒序）,再把它与原数列相加,就可以得到n个.

四、裂项相消法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：

这道例题是应用裂项相消的方法求和的,在高考中尤其是文科对这种求和方法的掌握要求是比较高的,从例题不难看出一般能用到此种方法求和的题型应该是分式型、入手时数列通项应该可以裂开的这种,掌握题型可以在更短的时间内选择有效的求和方法来节约时间提高解题效率.

五、错位相减法

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{anbn}的前n项和,其中{an}、{bn}}分别是等差数列和等比数列.

错位相减法是以上所有数列求和方法中最容易出错也最复杂的一个,也是高考中对理科生常考察的一种方法,应用这种方法时要注意观察题型是否是{anbn}型,且其中{an }、{bn}分别是等差数列和等比数列时才可用此种方法,在应用方法过程中还要注意当两式相减后最后一项的符号问题,这是最容易出错的地方.

六、归纳法

[例6]求数列1/1×2,1/2×3,1/3×4,等,1/n（n+1）,等的前n项和.

解：

∵S1等于a1等于1/2,S2等于S1+a2等于2/3,S3等于S2+a3等于3/4,S4等于S3+a4等于4/5,等

于是由不完全归纳法可猜想Sn等于n/n+1,再由数学归纳法证明上式正确,证明略.

以上6种方法虽然各有其特点,有时有些数列求和问题甚至可能用到几种求和方法,但总的原则是要善于改变原数列的形式结构,使其能进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决,只要很好地把握这一规律灵活运用,就能使数列求和化难为易,迎刃而解.