义务教育数学课程改革

《义务教育数学课程标准（2011年版）》的正式颁行代表着我国大陆地区义务教育阶段的数学课程改革又向前推进了一步.而在台湾地区,1967年颁布了《九年国民教育实施纲要》,开启国民教育历程,又于2014年指出要实施“十二年的国民基本教育”.不管是义务教育还是国民基本教育,尽管在名称上存在差别,但实质都是国家按照法律的规定,让适龄儿童接受一定的教育所提供的一种强制性的制度保障.那么,在这一阶段,大陆地区与台湾地区的数学课程发生了怎样的变化,数学课程改革又会有怎么样的趋势,这是所有数学教育工作者与一线教师迫切想要了解的内容.北京师范大学刘坚教授、台北教育大学钟静教授、北京师范大学綦春霞教授、民族大学孙晓天教授、华中师范大学胡典顺副教授等与来自各个学校的其他教师一起共同探究了这一问题,进行了经验的交流与分享.

一、大陆地区义务教育的数学学业状况

20世纪80年代之后,尤其是进入21世纪之后,各国基础教育的重心转移到提高教育质量上面,更加注重学生核心素养和关键能力的发展.第三届APEC部长会议中提到21世纪学生必备的基本能力有数学/科学、语言、职业/专业技能,数学就首当其冲.在OECD《2013年各国成人技能调查报告》中也提到了较差的数学技能会严重地限制人们获得报酬较高和价值更高的工作,数学素养成为教育质量评价的核心内容.因此,北京师范大学的刘坚教授、綦春霞教授与曹一鸣教授及来自北京教育学院的张丹教授一道就中国大陆地区义务教育数学学业状况进行了具体阐述.

他们认为对学生数学学业成绩产生影响的因素有：学校层面有学校类型、学校办学客观条件、学校环境、教师队伍状况、教师专业素养与教学观念、校长课程领导力等；学生层面有学生背景、学生学习情况、师生情况、师生关系、学习动机、学校归属感、学生方法和学生自信心.为此,他们采用分层三阶段不等概率抽样的方式对包括新疆与西藏等省在内的140个区县、952所小学的38312名三年级学生和2008名教师及1184名校长、446所初中学校的21105名八年级学生与1648名教师及597名校长进行了测试.他们指出,按照题册、时间设计与等值问题对学生进行测试,在内容与能力方面进行分析,从而考查大陆地区中小学生数学学业在多大程度上达到了课程标准的基本要求；不同地域与城乡之间存在怎样的差异性,程度如何；影响各学校学生数学学业水平差异的主要因素是什么,会在多大程度上影响学生的数学学业成绩.

通过研究,他们发现14%的小学生没有达到课标的基本要求,中部的不合格率会更低一点,但东部某省份的不合格比例是60%左右,可以看出东部各省市之间的差异也比较大.同时,他们还指出在小学阶段,男女生在基本的空间下没有差异,在内容维度上的表现也总体不错,中学的基本趋势大体与小学相当.

那么,刘教授又提出了这样的一个问题,那就是学生个体成绩之间的差异究竟在多大程度上是由于就读地的差异导致的?为此,他们参照PISA的统计方式――分层信息模型,只考虑分数与学校,可以看到对三年级学生的解释率是54%,对八年级学生的解释率是29%.按照PISA的解释,25%及其以下代表学校之间是比较均衡的,25%～40%就表明学校间的差异比较大,40%代表差异很大,这表明学生在不同学校的发展存在较大的差异.而且,他们还对下列的变量,如学生层面的性别、生源、学习自信心、师生关系、学习方法与学校层面的学校地理位置、学校归属感、教学方式、校长课程领导力等进行分析,运用分层线性模型,发现控制所谓相对比较固定的因素,如流动、性别、城乡地域等,加入学生自信心后,对学生的影响似乎更大,将其他三个学生层面的变量同时投入的话,师生关系与自信心比学习方式造成的影响要大.基于学校层面,学校归属感的影响明显要比其他的影响因素强,将其他三个变量同时投入的话,学校归属感的影响要大于其他两个变量.刘教授指出,这适合于小学与中学的情况,即师生关系对学生学业成绩的影响比较大,学校归属感有比较好的解释率,教学方式也会产生较大的影响,这是学校层面的影响差异.此外,他还将本研究涉及的学校层面与学生层面的所有变量纳入模型进行研究,指出对小学而言,对学校层面的解释率是43.5%,对学生层面的解释率是16.1%；对中学而言,对学校层面的解释率是59.1%,对学生层面的解释率是17.7%.

经过30多年的努力,特别是新世纪10多年的数学课程改革,中国大陆地区义务教育阶段绝大多数的同龄人都能够达到国家数学课程标准规定的基本质量要求,但西部地区、农村地区的数学学业达标率仍然偏低,即使在城市地区,如何全面地提高进城务工子弟受教育的质量,尽可能地不让一个人掉队依然是当前和今后一段时期数学教育的首要任务.他们认为义务教育阶段的数学教育要想提高学生的数学学业水平,首要的是教师应努力改善师生关系,尊重每一位少年儿童,增进学习者的自信心,学校也需要创造友好的人文环境,促进学生对学校的归属感,而中学阶段提高教师教学能力、改进教师教学方式则显得非常重要.

二、台湾地区国民教育阶段的数学课程改革

1967年,台湾颁布了《九年国民教育实施纲要》,废除初中联考；2000年,《国民中小学九年一贯课程暂行纲要》（2000年）公布；2014年,台湾“教育部”宣布延长国民教育为12年,实施“十二年国民基本教育”.那么,如何看待台湾地区国民教育阶段的数学课程理念与实施层面的改革得失,来自台北教育大学的钟静教授从台湾地区国民教育的数学课程改革说起,谈了她对台湾国民教育数学课程改革的看法与思考.

钟教授指出,从数学内容知识来看,可以将现在实施的课程标准叫做九七正纲或九贯正纲（2008年）,和早年实施的版（1975年）课程标准等在知识量上是相当的,但课程要以儿童为本位、重视儿童的自主学习本位,所以课程会简化,才能真正地实现公民教育.接着,钟教授具体讲述了台湾地区数学课程改革的一些重点,认为早期实施的版课程标准在小学阶段比较重视儿童学习,强调具体物操作、去单位算式,强调怎样解题,全面配发教具；在七四版课程标准时,在国中阶段强调逻辑与推理.同时,她指出八三版（1994年）课程标准是台湾小学数学的一个比较重要的分水岭,强调建构理念、落实儿童本位,强调学生学习自主、认知发展,强调帮助儿童从具体活动到形式运用,同时期的中学课程强调学生的数学解题能力,但都是统编本；而《国民中小学九年一贯课程暂行纲要》强调的是内外部的连接,培养孩子学习过程的数学能力,如推理、解题、沟通、表征、转化,强调思考形态与学习方法.但钟教授也指出由于这一阶段的数学教学时数降低,在和高中衔接的问题上需要处理时数不够这一难题.而且,钟教授还指出了台湾地区数学课程改革出现过两次摆荡：一是小学版课程标准的主要特性是结构、知识导向与教具操作,而八二版（1993年）课程标准的特性是心理结构、知识建构与认知发展,面临着从重结果转为重过程的问题；二是《国民中小学九年一贯课程暂行纲要》的特性是强调心理结构、能力培养与思考形态,九七正纲的特性是论理结构、知识导向、演算能力,面临着从重理解转为重计算的问题.因此,她认为台湾数学课程改革要落实儿童本位的教学观,由教师中心转为学生中心,进行差异化教学,而且由模仿到形塑的数学知识要由传递知识转为认知发展,数学教学要由单向讲述移为群体讨论,提供从内容到过程的教材设计,发展由纸笔到多元的教学评量.

此外,钟教授还对《国民中小学九年一贯课程暂行纲要》的特点与内涵进行了阐述,认为它强调学生的认知阶段,而且思考形态会从知觉性、察觉演示、辨识样式间的关系发展成非形式化的演绎,从算术思维发展到代数思维,重视概念的不同.从学生的认知发展看,六、七年级的学生大概是11、12岁,她认为根据皮亚杰的理论,此时学生的认知发展正处于逐渐地从具体运思到形式运思的过渡期,在解决数学问题方面应由原先单纯依靠算术计算过渡到学习利用符号表征、代数运算等代数想法来解题,并且数学领域存在“连结”,包括内部连结和外部连结,可以增进学生的数学素养,加强他们的数学式思维.

钟静教授认为数学课程所订的分段能力指标作为学习的内容选取与活动设计的参照准则时,要能够让八成以上的学生进行有意义的学习.对未能达到全部能力指标的部分学生,学校可利用弹性数学时数进行补救教学,对能力较好的学生,当他们的需求无法满足时,学校可利用弹性教学时数补充额外的教材.同时,她也指出了《国民中小学九年一贯课程暂行纲要》实施面对的状况与困境,即在试办时很少看到数学领域的教学、配套措施缺失,能力指标各自论释,教材衔接并不紧密,会受“建构数学”误解的影响,并对“十二年国民基本教育”课程纲要草案的一些内容进行了介绍,指出其愿景是成就每一个孩子、适性扬才、终身学习,理念是自发（本体观）、互动（认识观）、共好（观）,目标是启发生命潜能、陶养生活知能、促进生涯发展、涵育公民责任,认为应以核心素养作为课程发展的主轴,支持各教育阶段之间的连贯以及各领域、科目之间的统整,即自主行动、社会参与沟通互动,培养终身学习者.在领域学习层面,钟教授指出,未来除实施领域教学外,也可以实施分科教学,科学地设计课程的组合方式,以减少每学期修习的科目数量.在弹性学习层面,学校特色课程,如专题、议题探究、技艺课程、户外教育等可以推动教学活化,而学生的适性学习则要兼顾精尖与扶弱.

最后,钟教授认为数学课程实施要注重师生互动、多元评量,可以采取统整教学、数学绘本教学、数学步道教学、信息科技融入、情境脉络融入、数学史辅助、数学写作融入、合作学习教学、讨论式教学、探究教学、臆测与论证、数学建模教学、阅读理解教学、概念诊断教学等多种教学方式,也可以运用实作评量、档案评量、动态评量、写作评量、复式评量、二阶段评量等评量方式.此外,要实现内外部的连结使教学深化和活化,对课程要素,如前后经验、数学之间、数学与生活、数学与社会、目标之间、师生之间等进行统整,建立数学内外部的连结,进行社会互动性教学,发展以数学为校本的特色课程.最后,钟教授指出当前台湾地区数学课程改革面临的主要问题是意图课程（专家设计的课程）和一线教师现场实施的课程存在一定的落差,如何将数学家与数学教育家的理念实现内部整合也是比较大的问题.因此,她指出要正视教学时数、现象、课程落差、师资培育、课程意义、课程变动等问题.

三、2021年,义务教育数学课程的走向

伴随《义务教育数学课程标准（2011年版）》的正式颁行,人们自然会追问以下一连串的问题：2021年的义务教育数学课程标准应该是什么样子?我们拿什么证据说明应该要作出这样的变化?我们该如何应对这样的变化,以及为未来可能的变化做哪些准备?面对这一系列的问题,与会的数学教育工作者是如何看待数学课程在未来的走向的,他们又有什么样的新想法与思路,我们拭目以待.

1.义务教育数学课程的回顾与展望

中国数学教育与中国数学课程取得了很大的进步,在多年的实施过程中也积累了丰富的经验,虽然存在一些不足需要补充与完善,但《义务教育数学课程标准（2011年版）》颁布之后,义务教育数学课程的最大亮点是数学模型的提出,这是华南师范大学王林全教授对现行义务教育数学课程发展的一些看法.他认为义务教育课程标准要提出更加细致的基本活动经验内容,要逐步形成与深化概念,探索定理或公式、解题过程与途径,总结解题类型,提炼数学思想方法,发现、审视、利用、提炼数学美,论述基本活动经验的稳定性、灵活性与发展性.同时,他也指出由于中国人口众多、幅员广大,未来义务教育的数学教材应多样化,实现多种版本的并存；教材经过国家专家委员会审定后,要得到省、自治区、市教育部门的支持,而且教师还可以对教材的选择提出意见,建立专家和教师代表审定评价教材的机制.此外,王教授认为义务教育各个地区或学校的发展虽然不平衡,但不要人为地划分一些重点学校、重点班与重点小组,可以实现三个水平的并存,一是达标水平,让班级的绝大多数同学达标,二是先进水平,相对班级中的其他同学,少数同学可以是比较先进的,三是优秀水平,应该实现学生在这三个水平之间的流动.在实施的过程中,教师要给予鼓励.最后,王教授认为要通盘考虑初高中两套教材,做到内容连贯,防止初中与高中教材相互分割的情况出现,产生衔接问题,所以应统一教材编委会,让教材更为严谨与统一,促进学生更好地学习.

教育改革家富兰曾经说过,基于成功的教育改革,应该检测设“实施过程的主要目的是通过实施者与有关因素的相互作用来转换你对应该做什么的认识”.东北师范大学马云鹏教授对新世纪中国义务教育数学课程的实施与未来发展发表了自己的看法,他认为义务教育数学课程的改革以2001年颁布并实施的《义务教育数学课程标准（实验稿）》为标志,从2001年到2005年,新课程在实施过程中取得了实质性的效果,产生了一些变化,如教材（一标多本）、教学组织形式（教与学的方式、教学过程、教学情境）、教师与管理者角色（教师――组织者、参与者、合作者；学生――活动主体）、知识与理解层面（关注学生的个性差异与全面发展、提升教师的研究意识）及价值的内化等,但同时他也指出这一课程标准在实施过程中也暴露出了一些问题：第一,增加的新内容在教学中遇到一定的问题,如教学难度、实践与综合应用领域存在的具体实施困难；第二,对过程性目标的理解与落实感到困惑,会将一些实际问题抽象为数与代数的问题；第三,教学方式的运用与把握存在误区,不能准确地把握学生自主活动和教师适时指导之间的关系；第四,评价理念与方式改革上遇到困难,如何把握过程性评价与情感态度评价,这也是课程标准实施过程面对的困境.由于在课程目标、教学过程、课程内容、课程教学方式等方面出现了众多的争论,马教授认为《义务教育数学课程标准（2011年版）》在基本保持实验稿的结构和设计思路的基础上对一些内容进行了修改,整合基本理念,并修改了部分内容的表述；在课程目标方面,明确提出“四基”,突出学生的数学素养和整体发展；在课程内容上,调整了统计与概率领域的内容.基于上述分析,他认为义务教育数学课程发展走向将实现东西方数学教育理念的融合,在保持数学教学优良传统的同时,优化课程内容,也会为学生提供足够的活动与思考的时间与空间,转变教学模式与教学方法,促进学生的思考.此外,未来数学课程发展也要重视教师的专业成长,特别是关注教师PCK的研究、数学教师的专业素养及其职前与职后教育等.2.数学课程的国际比较研究

经济全球化趋势的不断增强,必然会推动教育领域的交流与沟通,为此,北京师范大学的吴立宝副教授将亚洲的中国与新加坡、欧洲的英国与法国、大洋洲的澳大利亚与美洲的美国等6个国家的初中数学教科书中有关“方程与不等式”的内容进行了比较研究.他指出,选取进行研究的教科书主要是这些国家教育行政部门发布或者推荐使用的正式教科书,抑或是当地流传较广或新推出的教科书,我国选取的是人民教育出版社2008年出版的初中数学教科书,采用直观描述、类比归纳、抽象演绎等方式对它们的内容广度与深度进行比较研究.

他指出,从内容广度上讲,6个国家的数学教科书中都具有的公共知识点有方程、列方程、等式性质、一元一次方程、解一元一次方程、不等式,其中方程与不等式部分主要有方程、一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组、不等式、其他方程（无理方程、绝对值方程、指数方程、分式方程）等内容.其中,美国数学教科书的知识点数量居首,中国其次,中、美两国数学教科书有22个知识点相同,而且美国在解一元一次方程部分增加了流程图与回溯法、猜想―检验―改进、无理方程、含绝对值不等式等,并且在美国教科书习题部分涉及了指数方程；法国与新加坡并列第三,法国在一元一次方程（零因子法）、不等式部分与中国有点差异,新加坡讲到了指数方程,如3x等于27；最后是澳大利亚,流程图、回溯法、方程、列方程、方程的解、猜想―检验―改进、等式性质、一元一次方程、不等式、不等式解、数轴表示解集、解简单的一元一次不等式以及使用因式分解与公式法解一元二次方程,在一元一次方程部分比较完备,缺少方程组以及分式方程等内容；英国教科书较少,知识点零散,没有成为体系.从内容深度上进行分析,知识点更多的是以直观描述的方式呈现,中国的深度是最大的,排名第一；英国、美国、澳大利亚主要是采用流程图与回溯法；法国运用的方法比较简单,步骤比较少,美、澳两国也会采用猜想―检验―改进的三步法.利用等式性质求解,这是共性,差异在于方程的复杂程度,中国明确提出了“移项”的概念.对二元一次方程组,英国与澳大利亚没有涉及,中、美、法三国以直观形式给出二元一次方程的概念,中国、美国、法国与新加坡四国均讲了代入消元法和加减消元法,均有验根.因此,吴教授告诉我们应注重对方程内容本质的理解,在概念呈现上要注重问题的设置,适当拓宽方程内容的涉及面,如习题.

吴立宝副教授从6个国家初中数学教科书中有关“方程与不等式”的内容进行了国际比较,来自华中师范大学的薛亚乔、胡典顺与王明巧则对中国与美国小学数学教材中的“问题提出”内容进行了比较研究.他们指出,“问题提出”是教育研究的焦点之一,而数学教材作为数学课程最为重要的资源,直接影响教师的教与学生的学,因此通过对各国教材的比较,可以发现我国数学教材在“问题提出”编写方面的优势与不足,对我国数学课程中“问题提出”具有较大的教学意义.为此,他们选取中国人民教育出版社版（简称PEP版）教材、北京师范大学出版社版（简称BNU版）教材与美国UCP版教材进行比较研究.综合三个版本教材的编写特点,他们主要从下列4个方面,即问题数及问题提出数、问题提出类型、问题提出所处知识领域、含特定要求的问题提出对中国与美国的数学教材进行差异比较.

在问题数及问题提出数的比较研究中,他们提出三个版本的教材各个年级的问题数分布是有显著差异的,但中国两版教材的分布差异并不显著.美国UCP版教材的问题数是PEP版教材的2.85倍,是BNU版教材的3.23倍.中国两版的教材中各年级的问题数分布比较均匀,美国UCP版教材的问题数随着年级的升高呈明显增长趋势,中国则相对比较平稳.同时,他们也指出,三个版本教材第二学段的问题都比第一学段的问题要多.问题提出数在各年级的分布有显著差异,而中国两个版本教材的问题提出数在各年级的分布差异不大,美国UCP版教材的问题提出数要高于中国的两版教材.PEP版教材各年级平均有23个问题提出,BNU版教材平均是22.8个,而UCP版教材平均是32个,还可以发现UCP版教材第二学段的问题提出数要多于第一学段,而BNU版教材和PEP版教材则相反.然而,他们认为虽然美国教材问题提出数比较多,但其总问题数也比较多.基于此,我们能够得到三个版本教材的问题提出数占总问题数的百分比,即PEP版教材占3.59%,BNU版教材占4.04%,UCP版教材占1.75%,问题提出数量最少的BNU版所占百分比最高,而问题提出数最多的UCP版教材的百分比却最低.

在问题提出类型方面,他们认为问题提出类型主要有追问型问题提出、补充问题型问题提出、补充条件和问题型问题提出、改变条件型问题提出、模型给定型问题提出,指出三个版本教材中问题提出类型分布有非常显著的差异,各版本教材编写问题提出类型的重心不同,PEP版教材比较重视追问型和补充问题型问题的编写,BNU版教材比较注重追问型以及补充条件和问题型问题的编写,UCP版教材则比较注重模型给定型和改变条件型问题的编写.

如果将知识领域划分成数与代数、空间与图形、概率与统计、综合应用,针对这些问题提出所处的知识领域与分布进行比较的话,他们认为这三个版本教材的问题提出所处领域的分布有显著差异,三个版本中数与代数领域所占的百分比都非常高,在空间与图形领域及统计与概率领域所占的比例都比较低,而综合应用领域只有BNU版教材进行了编写,所占比例是23.36%,其他版本的教材均未涉及.

在对含特定要求的问题提出数比较时,他们指出,三个版本教材中含特定要求的问题编写有很大差异,UCP版教材中含特定要求的问题提出数最多,是中国两版教材的10倍,而且UCP版教材中含特定要求的问题提出数占总问题提出数的百分比也是最高的,为68.23%,而中国两个版本中对有特定要求的问题提出的编写没有差异,PEP版教材的比例为9.42%,BNU版教材的比例为9.49%.因此,他们认为我国要合理地增加问题及问题提出数,在课后练习中加入复习题目,适当地增加各学段问题提出的编写比例,均衡各类型问题提出的分布.同时,他们也希望在教材中能增加模型给定型以及改变条件型问题提出的编写,并适当地调整各知识领域问题提出的设置,重视对统计与概率领域问题提出的编写,设置“问题提出”专栏,从问题的解法、内容范围、解决步骤、能否解决等方面对学生的“问题提出”加以限定.此外,他们认为教材中对问题提出策略的编写对学生提出扩张性问题也很重要.

3.数学教育的追求

绿色会让我们想到什么,实验室会让我们想到什么,e数学实验室又会让我们想到什么?北京教育学院的王长沛教授以“从绿色数学教育到e数学实验”为题讲起了他心目所设想的数学课程走向与数学教育追求.王教授是从一个初二年级学生的e数学实验活动讲起的,指出这个学生借助图形计算器移动技术、手持技术以及已经学过的三角形中位线定理来思考“三角形两边的n等分点所连的n等分线与第三边有什么位置与数量关系”这个问题,并借助图形计算器中三角形求解器的功能来探究与学习.王教授认为学生可以在教师的引导下,借助实验室环境、网络、图形计算器、三角形求解器与数学APP等数学工具进行自主探究,要敢提问、敢检测设、敢试验、敢做长探索,指出通过该学生的自述可以看出这些自主探究性活动其实是一个自生过程,通过不厌其烦的反复检验、学生悟得、数学数字技术工具的使用、移动学习、e数学实验室、教师引导、环境与家长的支持,学生可以在学习数学中获得更多的自信.通过这个故事,王教授指出,数学活动的主要目的是从复杂的现象中分离出不变,数学是关于模式的科学,要从大量的例子中去捕捉、去抽象、去发现不变量,把握不变量的关键特征.

此外,王教授认为绿色数学教育是一个复杂的生态系统或绿色的有机体,是一个“1+3”的模型,要从价值论、认识论和本体论三个不同的层次来把握数学教育的关键特征,要有自己的想法,要有批判的视角,如数学教育实践、理论与实践,要关注一线教师,认为绿色代表现代有机的整体观与东西方文化的融合,指出其关键的发展因素从价值论上说是以学生为本、关注学生发展,从认识论上说是强调建构主义方向,从本体论上说是强调多元与多维的数学观.同时,他还对绿色数学教育的实践进行了简略介绍,认为数学是进行创造与实验、论证的过程,数学实验室是为创造与实验、论证提供条件的地方,应发展到微缩的e数学实验室,简单、易用、易学、易带、易存,还可将信息技术与数学课程进行深度整合.从移动数学实验室到移动学习,可以说e数学课程是ICT与数学课程的深度整合.最后,王教授借用弗赖登塔尔在《作为教育任务的数学》中的一句话“要实现真正的数学教育,必须从根本上以不同的方式组织教学,否则是不可能的”来说明学生的探究需要物理环境的支持,要有传统方式与ICT相结合的e数学实验室,要让学生成为数学实验室的使用主体,确保每个学生都能获得e数学活动的基本经验,进行e数学实验活动的开发.

教育公平一直是我们追求的目标,但教育公平并不是让所有的人都成为一样的人,而是让所有的人成为不一样的人,对数学教学来说,也就是说人人都能获得良好的数学教育,但不同的人在数学上会得到不同的发展.来自浙江新思维教育研究院的唐彩斌院长认为在现实过程中,不同的人学习不同的数学可能会遇到以下问题,如不同的人都想学好数学、不同的人学习同样的教材、不同的人学习同样难度的数学、不同的人希望数学学得一样好,并讲述了他在2010年针对某区2300名学生的计算测试,研究发现,这些教师存在过度训练的情况,发现学生会做题,但是说不出来为什么会这样做.基于此,唐院长认为,作为一线教师要关注数学教学内容,厘清必要的基础数学,也要关注教学目标,深入研究“双基”,并应用日常教学检测大数据创建数学教学质量参照标准,实现应用技术、信息技术与学科的深度融合.同时,他也指出数学学习是有线索的,但这线索不一定是唯一的.

数学教育与数学课程的发展关键在于落实.中国人民大学附属中学第二分校的教师肖飞飞针对本校的具体情况分享了她们在数学教育中的探索活动.她指出,学校在数学教育中提出的“零失败”并不是指在数学考试中对分数有特定的要求,而是要在数学教学中实现学生百分之百的进步,营造一种氛围与文化,让每个孩子都能快乐地成长.她指出,中国人民大学附属中学第二分校地处原城乡结合部,生源结构复杂,学生的学习能力和水平存在较大差异,但是新的课程标准提出要让教育面向全体学生,使人人都能获得良好的数学教育.因此,她们聘请了张肇基老师进行指导,有幸与肇基数学结缘,并对肇基数学的内容进行了具体的介绍,它包括：建立一个真正能给每位学生带来希望的评价机制――准模测试法,包括标准试题、验收练习、准模测试、用进步换分数的准及格制度等四大因素,热忱地呵护学生的向上之心,培养他们学习数学的自信.二是开展以肇基学具为载体的群体性助学活动,突破一些传统的教学方法.肇基教具包括两种算卡（肇基数式算卡与肇基图数算卡）与两种拼卡（肇基推理拼卡与肇基巧板拼卡）,分别应用在代数与几何方面.三是建立符合少年学生心理特点的互动机制,如师友互动―师师互动―友友互动.

此外,肖老师还讲述了她们借助肇基数学取得的一些效果,主要表现在：累积了丰富的数学资料,建立了初中阶段的六大题库,如标准试题库、验收题库、准模试题库、会战题库、中考串联复习法题库、辅考题等题库；形成了具有学校特色的数学教学模式,如课堂上的师友互助、肇基学具活动课、考试前的验收练习与准模测试、新生夏令营、数学文化节等；改变了教师的教学理念与教学方式,如教育目标的重新定位、教学方法的更新、教师职责的进一步理解等；取得了比较多的研究成果,并进行推广,改变了学生的数学状态,激发了学生学习数学的兴趣与积极性,提升了他们的数学学习的自我效能感与数学学习能力.同时,肖老师也指出了她们面临的一些新任务与挑战,如怎么把准模机制与现行的考试制度更好地衔接、如何寻找科学有效的方式与方法衡量学生在实践过程中发生的知识与能力的变化、如何更好地推动肇基数学内容的发展等,并指出她们的数学追求是让数学教育能使学生在回顾过去时幸福而满足,在面对今天时,快乐而充盈,在憧憬未来时,现实而乐观,这是不会变的.4.有关几何课程改革的思考

类比推理是数学课程中的比较重要的内容,几何类比推理是指以几何图形为材料的类别推理,在中学中会作为合情推理的内容受到人们的重视.西南大学博士李艳琴以“几何类比推理认知诊断及其对几何课程改革的思考”发表了她对几何课程改革的一些看法.她指出,认知诊断属于新兴的测量学范畴与领域,广义上是将学生个体的成绩,并非单独的成绩分数值,和其内部心理特征、过程、结构相联系；狭义的理解是利用统计的方法将个体在测验中的各个项目中的反应进行分类,每一类都与一种认知方式相匹配.如何认识认知模型,她认为要从属性、层级关系、属性分类等方面进行分析,其中认知属性是被试解决某一问题时需要的知识、技能与策略,是进行某一具体领域工作所需要的程序性知识与陈述性知识,是认知诊断的前提条件.它的构建是通过这些属性之间可能存在的依存关系给予具体说明与界定的,通过图表的方式来表征任务.这一认知模型对教师的教学非常有启示.此外,她还指出通过心理学的研究可以得出属性层级之间的关系,主要有4种,即线性型、收敛性、分支型、无结构型,且属性层级关系是认知诊断测验设计与试题编制的重要依据和前提,而几何类比推理的认知属性,如位置移置、旋转、反射、数量、大小、阴影、形状没有层级关系,其掌握模式,即被试的知识状态或认知结构,从理论上讲存在128种.

同时,她指出有关几何类比推理认知诊断的结果主要有两个,一是属性难度参数估计,二是属性错误认知率,并针对国内外属性难度参数估计结果进行比较,发现虽然两种模型估计的参数大小不同,但其相同点是反射和旋转对项目的难度贡献率最大,而且会出现大小属性的难度参数估计差异,这可能是由于被试差异、研究者对属性的认知等原因导致的.针对属性错误认知率进行分析,她指出能够发现四至八年级中约70%的学生能全部掌握几何类比推理的7种认知属性,出现错误的地方主要集中在反射、旋转和大小等方面.

借用李秉彝教授的话,“几何本身是无处不在的,关键之处并不在于教的内容,而在于教的方法”,她认为几何类比推理认知模型对几何课程教学研究有很大的启示,主要表现在：在教学思考方面,教师要思考怎么教,加强对几何课程内容的研究；在课程设置方面,要进行实证研究,确定几何类比推理的难点,找出原因,提出对策,并对认知属性错误率进行研究.因此,她认为可以在几何课程改革中强化对属性的教学,适当地调整属性教学的难度,降低内容要求,重视思维的训练与初高中的衔接.

最后,她认为几何类比推理认知诊断未来发展的方向是进一步验证几何类比推理属性分类与属性层级关系,编制科学合理的几何类比推理认知诊断测验项目,为学生构造最优的测验,进行不同群体的几何类比推理群体水平认知诊断研究,加强认知诊断补救教学研究.

数学教育离不开数学课程,数学课程的实施离不开教材,教材内容的有效落实也离不开教师的教与学生的学,关键之处在于教师教学的方式与学生学习的效果.因此,不管是大陆地区的义务教育,还是台湾地区的“十二年国民基本教育”,对数学教育与数学课程的研究一直是所有数学教育工作者与一线教师要深入思考的重要内容.

（责任编辑：孙建辉）