利用初等变换化二次型为标准型

摘 要 在高等代数这门课中,我们经常应用初等变换这一方法计算行列式的值、矩阵的逆、矩阵的秩.其实初等变换还有更广泛的应用,本文主要介绍利用初等变换方法将二次型为标准型.

关 键 词 初等变换 二次型 标准型

中图分类号：O156文献标识码：A

二次型f (X) 等于 XTAX,矩阵A是一个对称矩阵,通常将二次型化为标准型的方法三种：（1）配方法；（2）正交变换法；（3）初等变换法.求解上述问题的一般步骤为：

（1）令|A -E| 等于 0,求得A全部不同的特征值 1, 2,等, 3, i(i 等于 1,2,等,s)的重数为ki,ki 等于 n；

（2）对于每个 1(i 等于 1,2,等,s),求出齐次线性方程组(A -iE)x 等于 0的一个基础解系,,等,,这时为列向量；

（3）对,,等,,进行施密特正交化过程,得到ki个属于 i的相互正交的特征向量,,等,(1≤i≤s)；

（4）将单位化得rij 等于 , (1≤i≤s,1≤j≤ki)；

（5）令C 等于 (,等,,等,等,),则C为所求矩阵,且CTAC为对角阵,其中主对角上的元素为 1等, 1,等, s,等, s.

上述求解过程比较繁琐,特别是施密特正交化过程公式,较易忘记,而本文介绍的正交变换法就能快速地化二次型为标准型.由于二次型的标准型所对应的矩阵是对角矩阵∧,所以∧ A,即存在可逆矩阵C,使得CTAC 等于 ∧.而C 等于 P1P2等Pt,其中Pj(j 等于 1,等,t)为初等矩阵,CT 等于

上述这两个式子说明,对矩阵A施行一系列成对的初等变换,将A化成对角矩阵E,就相当于对单位矩阵E施行同种类型的初等变换,将单位矩阵E化成可逆矩阵C.对角矩阵所对应的二次型就是标准型,可逆矩阵C就是可逆的线性变换X 等于 CY所对应的矩阵.

因此我们作一个矩阵

这里需要说明的是,所谓合同变换是：当对矩阵施行一次初等行变换后,紧接着进行同样的初等列变换,两次变换必须同时进行.

例1 将二次型f (,,) 等于- 3 +- 2 + 2 - 6化成标准型.

解：此时二次型的矩阵,作矩阵

所以可逆的线性替换为

其标准型为f (,,) 等于- 4 +

例2 将实二次型f (,,) 等于 2 - 6 + 2化为标准型.

解：此二次型的系数矩阵,A的主对角元素全是0,先对Ａ作初等变换及其相应的列,使经过如此变换后得到的新合同阵的主对角有非零数.

所以可逆的线性替换为

标准型为：f (,,) 等于 2 -+ 6

初等变换在解决高等代数的有关问题中所具有的特殊作用,本文主要研究了将二次型化为标准型的有效方法――初等变换.