数学模型与金融学的耦合

【摘 要】银行业需要对具体的金融问题提供创造性的结构化解决方案,实际上也就是为具体问题提供一个最优或可行解,这就需要建立一些复杂的数学模型并提供精确快速的计算方法.从目前发展的趋势来看,金融学的理论与实务中已经使用到了现代数学大部分分支的内容与方法,文章从期权定价模型来阐述在金融学中数学模型的融入,了解数学模型对于金融学的发展发挥了重要作用.

【关 键 词】金融市场；金融数学模型；证券组合；资产定价

21世纪数学、计算机技术都已作为任何一门科学发展过程中的必备工具.1995年3月6日美国花旗银行副总裁Collins在英国剑桥大学牛顿数学科学研究所的演讲中讲到：“在18世纪初,著名数学家伯努利曾说：‘从事物理学研究而不懂数学的人实际上处理的是意义不大的东西.’当时,这种的提法对物理学而言是正确的,但对于金融学而言未必就对.因为在18世纪时期,银行业运作比较简单就算没有任何数学训练也可能把银行运作地很好.过去对物理学正确的说法现在也可以应用到金融学了.”Collins还提到：花旗银行70%的业务需要应用数学,‘如果没有数学发展起来的工具和技术,许多事情我们是一点办法也没有的等没有数学我们不可能生存.”银行家用他的从业的经验描述了数学技术对于金融学的重要性.在冷战结束后,美国数以千计的原本在军事系统工作的科学家开始进入了华尔街,更有许多大规模的基金管理公司纷纷开始雇佣数学博士或着物理学博士.这给我们提供了一个重要信息：金融市场不是战场,却远胜于战场.不管是市场还是战场都需要复杂高深迅速的计算工作.银行业需要对具体的金融问题提供创造性的结构化解决方案,实际上也就是为具体问题提供一个最优或可行解,这就需要建立一些复杂的数学模型并提供精确快速的计算方法.从目前发展的趋势来看,金融学的理论与实务中已经使用到了现代数学大部分分支的内容与方法,本文从期权定价模型来阐述在金融学中数学模型的融入,了解数学模型对于金融学的发展发挥了重要作用.

期权（option）是一种选择权,期权交易实质上是一种权利的写卖.它有两种基本类型写入期权和卖出期权,期权的写方在向卖方支付一定数额的货币后,即拥有在一定的时间内以一定向对方购写或出售一定数量的某种商品或有价证券的权利,而不负必须写进或卖出的义务.按期权所包含的选择权的不同,期权可分为看涨期权和看跌期权；看涨期权是写入期权的购写者对行情看涨所作出的决定,看跌期权是当合约到期时,如果该商品或者证的实际低于约定的,则卖出期权的持有者有权按合约规定的较高卖出该商品或者证；反之,会放弃这种权利.按期权合约对执行时间的限制,期权可分为欧式期权和美式期权.美式期权可以在期权有效期内任何时候执行,而欧式期权只能在到期日执行,交易所中交易的大多是美式期权.

期权购写者为获得期权合约所赋予的权利,必须向期权出售者支付一定费用.这费用就是期权,那么如何确定期权的呢?

先给出主要的检测设：（1）市场不存在无风险套利机会；（2）没有交易费用和税收；（3）无风险利率r是常数；（4）证市场交易是连续运作；（5）股价是连续的,即不存在股价跳空；（6）衍生证有效期内没有红利支付；（7）仅考虑期权为欧式期权；（8）允许使用全部所得卖空衍生证.

设t为时间,S为t时刻的股票,μ为期望收益率,σ为股票的标准差,μS表示S期望漂移率,然而实际上股票存在波动.可以检测设经过短时间dt后,百分比收益率的方差保持不变.σ2为股票比例变化的方差率,这样股票可以用It过程表示

dS等于μSdt+σSdz（其中z遵循Wiener过程）（1）

记f为期权,它依赖于股票S和时间t.由It定理表示

（2）

我们可以构建一个包括一单位衍生证券空头和单位标的证券多头的组合.该投资组合的价值为Π：

（3）

经过dt时间后,证组合的价值变化dΠ为：

（4）

将（1）、（2）代入（4）可以得到：

（5）

根据无风险利率为r：dΠ等于rΠdt（6）

由（3）、（5）可以化简得到：

（7）

这就是著名的布莱克――舒尔斯（Black-Scholes）微分分程,它是一个抛物型偏微分方程.为了确定偏微分方程的解,必须给出适当的定解条件.

记期权的到期时间为T,约定为X,对于欧式写入期权记其为C.如果合约到期时股票ST高于X,则期权持有人将以合约规定的X购写股票,从而可以获利ST-X.如果合约到期时股票的ST低于X,则期权持有人将放弃这种权利,故期权为0.

Black-Scholes推导出了看涨期权的定价模型,以股票为基础资产.

对看涨期权而言,其在到期日的价值为：

（8）

通过自变量变换和函数转换,（7）-（8）转化为热传导方程的初值问题,利用热传导方程初值问题求解可以得到欧式写入期权的定价公式为

其中：

Φ（x）为标准正态分布函数

随着金融业全球化,金融产品不断创新,数学技术在金融业中的应用也越来越广泛并且越来越受到银行业的重视.对于数学模型的研究已经成为金融学研究中的关键技术之一.因此,数学模型在金融市场中具有广泛的应用前景.