坐标系在大学物理运动学中作用的探究

摘 要 求解大学物理运动学方面问题时,选用合适的坐标系能够简化运算.直角坐标系、极坐标系和自然坐标系都有自己的适用范围.本文将这3个坐标系的适用范围进行探讨.找出规律并在课堂教学传授给学生,提高学生的解题能力.

关 键 词 坐标系；大学物理；运动学

中图分类号O4 文献标识码A 文章编号 1674-6708（2013）90-0162-02

微积分有着广泛而重要的应用.用微积分求解物理有关问题,是大学物理教学的重点和难点,不易理解和掌握1.但对刚刚开始学习运动学部分的大一新生而言,最困难的不是微积分本身,而是如何选用坐标系来简化微积分运算的问题.一般而言,一个运动学问题可以用多个坐标系来求解,但选择不同坐标系求解同一运动学问题时,所得到的轨迹方程存在着巨大的差别.

轨迹方程越简单,对其进行求导（求速度和加速度）运算就越简单,列出简单轨迹方程的坐标系就比较适合用来求解这类运动学问题.

可以这么说,在运动学中不同的坐标系适合用来解决不同类型的运动学问题,具体而言就是：直角坐标系比较适合用来求解直线运动问题和轨迹方程为一次函数的曲线运动问题；极坐标系比较适合用来求解轨迹方程无法确定的曲线运动问题；自然坐标系比较适合用来求解轨迹方程为二次函数的曲线运动问题.

下面对提出上述论点的理由和依据进行详细论述.

1.求解直线运动问题时,直角坐标系比较占优势

当物体运动的轨迹为直线时,直角坐标系列出的方程一般比较简单,如y等于ax+b；极坐标系和自然坐标系列出的方程是由直角坐标方程转换而来,转换而来的方程又比原来的直角坐标方程复杂一些.

现将直角坐标系、极坐标系和自然坐标系对直线轨迹的描述列表如下：

如表1所示,当运动轨迹为直线时,直角坐标方程非常简单,极坐标方程和自然坐标方程比较相似,比直角坐标方程要复杂得多.

一般来说,方程越简单,对其求一阶导数（求速度）和二阶导数（求加速度）的过程就越简单,对比较简单的直角坐标方程进行求导,无疑要比对极坐标方程和自然坐标方程的求导简单的多.也就是说,运动轨迹为直线的运动学问题,使用直角坐标系求解比较占据优势.

2.解决曲线运动问题时,直角坐标系、极坐标系和自然坐标系各有所长

曲线运动的种类有很多,大致可以分为：轨迹为一次函数的曲线运动、轨迹为二次函数的曲线运动和无法确定轨迹函数的曲线运动3类.直角坐标系、极坐标系和自然坐标系在求解这3类运动学问题时,需要列出的计算公式和有效计算步骤也不尽相同.

下面对什么坐标系适合求解什么曲线运动问题展开详细论述.

2.1求解轨迹方程为一次函数的曲线运动时,直角坐标系比较占优势

当物体曲线运动的轨迹为一次函数时,直角坐标系列出的方程一般比较简单,如：y等于sinx,y等于cosx.

而要将这些直角坐标函数转换为极坐标函数和自然坐标函数,一般是比较困难的.相当于这种困难而言,对直角坐标函数进行一次求导（求速度）和二次求导（求加速度）并不复杂.这种强烈的反差显示,当曲线轨迹方程为一次函数的运动学问题时,使用直角坐标系求解比较占优势.

2.2求解轨迹方程无法确定的曲线运动问题时,极坐标系比较占优势

有些曲线运动问题中没有给出明确的轨迹的方程,求解这类运动学问题可以用极坐标系和直角坐标系,一般不使用自然坐标系,因为自然坐标系求解运动学问题时一般需要明确的轨迹方程.

这类运动中物体所受的力一般都是有心力,而求解质点受有心力作用而运动的问题时,用平面极坐标系就比用直角坐标系方便的多2.

下面分别使用直角坐标系和极坐标系,对一个轨迹方程无法确定的曲线运动的进行分析,在分析的基础上对求解过程的复杂程度进行比较.

例1、如图,已知速度v在i轴的分量为,j轴的分量为,求沿i、j轴的加速度.

对这道例题分别用直角坐标系和极坐标系,求解其速度.现将解题步骤列表如下：

直角坐标系 极坐标系

如表2所示,极坐标系求解速度是,只有2个计算,有效计算步骤4步；直角坐标系求解速度时,有6个计算,有效计算步骤10步.

经过对比,可以看出极坐标系在求解速度上优势明显,如果在进一步求导（求加速度）的话,极坐标方程求导难度不大,而直角坐标方程求导的难度却大大增加了,极坐标系求解该运动学问题的优势将继续增大.也就是说,极坐标系更适合用来求解轨迹方程不确定的曲线运动问题.

2.3求解轨迹方程为二次函数的曲线运动问题时,自然坐标系比较占优势

当物体曲线运动的轨迹为二次函数时,特别是运动轨迹为圆锥曲线时,直角坐标系列出的轨迹方程一般比较复杂,如：、、等,而极坐标系对圆锥曲线的描述为,当e<1时曲线为椭圆,当e=1时曲线为抛物线,当e>1时曲线为双极线 .如果参数e和p容易获取的话,对极坐标方程式求一阶导数和二阶导数的过程,要比对直角坐标方程式求一阶导数和二阶导数的过程简单得多.

因此、当物体曲线运动的轨迹方程为二次函数,特别是轨迹方程为圆锥曲线时,比较适合使用极坐标系或自然坐标系求解.求解这类问题,自然坐标系又要略强于极坐标系.

下面分别使用自然坐标系和极坐标系对一个轨迹为椭圆曲线的例子进行分析,写出解题过程,并对解题过程进行详细比较.

例2：质点沿着半径为r的圆周运动,其加速度矢量与速度矢量间夹角保持不变.求质点的速度随时间而变化的规律.已知初速度为.

对这道例题分别用极坐标系和自然坐标系,求解其初速度.现将解题步骤列表如下：

如表3所示,虽然极坐标系和自然坐标系都能够顺利求解,但自然坐标系的求解过程比极坐标系的求解过程要简单很多.也就是说,在同样能够顺利求解的情况下,自然坐标系能更好的求解这类问题.

因此,求解轨迹方程为二次函数的曲线运动学问题时,特别是求解轨迹方程为圆锥曲线的运动学问题时,自然坐标系比较占优势.

综上所述,直角坐标系、极坐标系和自然坐标系在求解运动学问题时,各有各的优势.

具体而言就是：求解直线运动问题时,直角坐标系比较占优势；求解轨迹方程为一次函数的曲线运动,直角坐标系比较占优势；求解轨迹方程无法确定的曲线运动问题时,极坐标系比较占优势；求解轨迹方程为二次函数的曲线运动问题时,自然坐标系比较占优势.虽然在总结这些规律的过程中难免有疏漏之处,但这些规律还是能够大致反映各个坐标系的特点的.在课堂教学中将这些规律传授给学生,对提高学生的解题能力很有帮助.