导数在经济管理中的应用

导数是微积分学的一个重要概念,本文就导数在经济管理中的应用做初步讨论.

1.边际成本

经济学的边际成本定义为：增加一个单位产品引起总成本的变化.

因为总成本都是产量Q的函数,所以边际成本在数学上可以表达为总成本的导数,即：

例1．设某企业总成本的函数,求边际成本函数和产量件时的边际成本.

解：边际成本函数

产量件时的边际成本元

产量件时的平均成本元

因为边际成本4.7元低于平均成本28.6元,所以提高产量,有利于降低单位成本.

2.边际收益

经济学的边际收益定义为：销售一个单位产品引起总收益的变化.

因为总收益是产量Q的函数,所以边际收益在数学上可以表达为总收益的导数,即：

例2．已知总收益函数,求边际收益函数和时的边际收益.

解：

产量件时的边际收益

在产量为4这一水平上再增加或减少销售一个单位,其收益增加或减少14.

3.弹性系数

经济学的需求弹性是需求量变化率同变化率之比.设需求函数为,当有了变化时,需求量的改变量为,则就是需求量对的需求弹性,它的大小客观地反映了需求量对改变的反应程度.

需求弹性虽然表达了商品需求对改变的反应的敏感程度,但对于具体的一点来说,它所表达的敏感程度不够精确,因此我们取极限,就得到了点弹性为：

例3.设需求函数,求需求的点弹性函数,并求时的需求弹性.

解：

需求弹性函数为

时的需求弹性为

这说明了,当这种商品的在10元/件的水平时,上升1%,市场的需求量相应地下降0.5%.它精确地反映了该商品需求量对改变反应的敏感程度.

4.利用导数求极值的应用

例4.设某厂成本C关于产量Q的函数为:,收入函数为.问每批生产多少产品才能使利润最大?

解：

令,得

因为,所以为极大值.

即每批生产160件产品,利润最大.

5.结论

由上述分析得出：边际成本函数是总成本函数对产量的导数；边际收益函数是总收益函数对销量的导数；点弹性函数就是在这一点上与需求量的比值,再乘以需求函数在这点的导数所得的积.