开拓思路一题多解

所谓“一题多解”,是指通过不同的思维途径,采用多种解题方法解决同一个问题的教学方法.二十多年的教学实践与教学反思都表明,一题多解不仅是激发学生兴趣,开拓思路,提升思维品质,让学生形成解决问题能力的基本策略,而且能让学生体验解决问题时,由策略选择的多样性,发展了他们的实践能力与创新能力.本文拟就一题多解在中学数学教学微型设计中的运用,作一点探究.

一、设计一题多解,打开数学大门

在由简入繁、循序渐进的数学殿堂中,每一领域都有一扇虚掩的大门,等待我们去开启.如七年级学生刚学几何的推理论证时,总会很不习惯.这是由于几何所研究的对象、过程、思维方式、语言的表达,都与代数有较大的区别,并且几何语言是人们从长期的实践中提炼而成的,具有概括性、抽象性、逻辑性较强等特点.为此,面对问题,如果能引导学生从不同的角度去思考,就能把学生的好奇心转化为求知欲,让他们兴致勃勃地去推开几何殿堂的大门.

例题：如图1,直线MN分别和直线AB,CD,EF相交于点G,H,P,∠1等于∠2,∠2+∠3等于180°,试问：AB与EF平行吗?为什么?

分析：首先,扫除三线八角中的同位角、内错角、同旁内角几何入门的第一道门槛,总结三类角的特点,关键先找“截线”,再把复杂图形基本化（F形、Z形、U形）,运用定义进行识别.然后分析要想得到AB∥EF,可以从问题的结果出发,思考学习过的判断两条直线平行的方法有哪些,让学生回想学过的四种常用方法,也培养学生思维的流畅性.此题可从证∠1等于∠EPM,或者∠AGP等于∠GPF,或者∠AGP+∠GPE等于180°考虑,也可以利用平行的传递性先证AB∥CD,再证CD∥EF.

此例中,一看到探究平行线,马上想起一系列角的等量关系,这种条件反射的建立,是最基本的数学素养之一.一题多解表现为依据定义、定理、公式和已知条件,思维朝着各种可能的方向扩散,不局限于既定的模式,从不同的角度寻找解决问题的各种途径,培养学生的发散思维能力.一题多解,也让学生享受了成功的喜悦.适时的引导启发也让学生感受到学几何有趣,且不难.

二、运用一题多解,驱散畏难情绪

把学生领进数学大门,是成功的第一步.但客观地说,数学的确有不少难题,甚至在一些学生看来,这些难题简直是一座座不可逾越的大山.所谓“难者不会”,如何通过一题多解的教学设计驱散畏难者的消极情绪,帮助他们重拾信心,变成“会者不难”,是我们要研究的另一大课题.

小学解应用题,学生学了五六年的算术解法,已经习惯于算术法,是逆向思考；而初中解应用题,学生学习列方程法,是正向思考,思路上不一定转得了弯.尽管强调列方程解应用题要求“分析题意、找出等量关系、据此列出方程”,但这种强调对于初学者来说,把等量关系复杂化了,常常是一旦思维受阻,就一筹莫展,易产生畏惧心理.

为此,把列方程的实质说成：在题目描述的过程中,先随便“拉出”一个量,根据题意用两种不同的方法表示“它”,中间用“等号”连接,方程即列成.这样,若能进行策略开放,经常对一些问题从不同角度思考,得出多种解法,可以帮助学生开拓思维.再遇思维受阻时,进行换位思考,便也能顿开茅塞,拿出解脱策略,势如破竹,使学生感觉到列方程是唾手可得的事情.

例题,一辆手推车装满时,可装半袋面粉加180斤大米,或者4袋面粉加5斤大米,求1袋面粉的重量.

解：设1袋面粉的重量为x斤.

思考：①以两种方式表达半袋面粉重量：等于4x+5-180；②以两种方式表达180斤大米重量：180等于4x+5-；③以两种方式表达4袋面粉重量：4x等于+180-5；④以两种方式表达5斤大米重量：5等于+180-4x；⑤以两种方式表达1袋面粉的重量：x等于2（4x+5-180）；⑥以两种方式表达半袋面粉的“半”字：等于；⑦以两种方式表达4袋面粉的“4”：4等于；⑧以两种方式表达手推车的满载重量：+180等于4x+5；⑨以两种方式表达一袋面粉重量并且在其中一种表达式中不允许出现x：等于x.

最后,归纳出列方程解应用题的解题方法,若一量为所求量（设为未知数）,另一量给出的数值较具体,则选择第三量列出方程,即一量设,一量已知,一量列方程.这使学生在解应用题时,思路更明确清晰,从而能快捷地列出方程.

列方程解应用题,是整个初中数学教学的重点,也可以说是难点.因此起始课教学让学生掌握好它的原理、方法及实质则显得十分重要.教学设计要符合初中生的认知水平,一个合适量的“拉出”,衍生了问题的一系列不同解法,同时,归纳出列方程解决实际问题的一般步骤,使学生的思维始终处于活跃状态.他们不仅充分利用已知解决未知,并且在解决未知的过程中,有效拓展了思维,有利于培养学生的发散思维,从而培养和提高学生分析问题、解决问题的能力.

有了成功的尝试,学生再次见到难题就会从容得多、自信得多.当然,这种“成功”一定是学生经过努力体验到的“成功”,而不是看老师演示得到的“成功”.

三、掌握一题多解,融通知识脉络

许多章节的教学目标中都有“熟练掌握”基本知识的要求,与此相配套的强化训练往往会形成思维定势.思维定势固然有其积极的意义,但也会产生消极作用,表现为思考问题常常倾向于某种固定的模式,思维不够灵活.所以,寻求多种解题方法,有助于消除思维定势的消极作用,使所学知识融会贯通,形成体系,便于活学活用,争取更大的进步.

例如,“如图2,若AB等于AD,CB等于CD,且AC,BD相交于点O,则AC⊥BD,DO等于BO”这个命题的证明,随着教学内容的扩展,有三种不同层次的解法.

一是教授了“全等三角形的判定”后,通过两次三角形全等（△ABC≌△ADC,△AOB≌△AOD）证明结论.

二是教授了“等腰三角形的性质”后,只需证△ABC≌△ADC,然后由∠DAO等于∠BAO,直接得出结论,证法得到简化.三是教授了“线段垂直平分线的性质定理及逆定理”后,由条件知点A,C都在线段BD的垂直平分线上,从而结论成立.这里,完全舍弃了“三角形全等”的学习方法,证明变得更为简洁.

学习了定理“两圆相交,连心线垂直平分公共弦”后,这个命题无需证明了.

像这样,在不同的教学阶段,证明同一个命题的方法越来越优化,这不仅能帮助学生克服思维定势,而且有助于学生更好地把握知识的脉络.

尤其有效的是在数学复习课上,善于多方位思考,探究一题多解,最有利于学生掌握和巩固知识,把已经差不多遗忘的知识点重新建立起来,挖掘问题的内在联系,向“纵、横、深、广”拓展,向“少、精、活”探索,既能提高解题速度,又能有目的地把各类知识串联起来,达到温故而知新的目的,逐步提高认知的层次,从低级到高级螺旋式上升,实现一题多解意义的延伸.

四、寻求一题多解,培养创新意识

人才的培养不只是让他们掌握已有的知识技能,更高的目标在于培养他们的创造能力和创新意识.在教学实践中,注重产生结论的过程教学,引导学生探索一道题目的多种解法,既可以增强学生解题的信心,激发学生的学习兴趣,又可以培养学生的创新意识.要做到一题多解,教师就要利用典型、生动的事例去激发学生的“求异动机”,有意识地安排一些灵活多变的练习,在引导学生掌握了基本的、规律性的解题思路的同时,抓住各部分知识间的联系及方法间的联系,进而引导学生从不同角度、不同领域去探索解题方法.

例如,二次函数y等于ax2+bx+c的图象向左平移2个单位,再向上平移3个单位,得到函数解析式y等于x2-2x+1,则b与c分别等于多少?好多学生受平时正向思维定势的影响,解答起来比较麻烦.而有一名学生却能独辟蹊径,逆其道而行之,把函数y等于x2-2x+1的图象按原路倒回去,先向下平移3个单位,再向右平移2个单位,于是便可得到函数的图象,从而轻松地解决了问题.真是令人拍案叫绝!老师对这位同学当堂表扬,并且大加赞赏,大家也分享他的成果.这是多么了不起的解法啊!这不就是对司马光“砸缸”的逆向思维的成功演绎吗?它启示我们：数学解题中,若思维受阻,常常就需要“顺难则逆、直难则曲、正难则反”.在教师的启发、引导下,学生对这道题还提出多种其他解法,课堂成为学生合作、争辩、探究、交流的场所,它极大激发学生主动探求一题多解的兴趣.

为寻求一种新的解（证）法,学生往往冥思苦想,反复琢磨,百思不得其解.可一旦领悟,解（证）法却又那样的出人意料.通过寻求新的解（证）法,学生既体验到“山穷水尽疑无路”的艰辛,又品尝到“柳暗花明又一村”的惊喜,从而激起他们更加强烈的学习热情.有的学生课后继续探究新的解题方法,由被动转为主动,从厌学变为乐学、好学.相信以后再遇到其他题目,他们也会不满足于一种解法,不断寻找最简捷、最巧妙的解法,通过各种不同形式的自主学习、探究活动,学生体验数学问题从发现到解决的全过程,享受成功的喜悦,并能由此形成、强化创新意识.

借鉴前人理论可知,解法探究作为数学有效教学的重要途径,就是要让学生在获得数学知识的同时,改进学习方式、方法,既善于听讲,又适应变式、乐于探究,从而使兴趣得到培养,情操得到陶冶,智力得到开发,素质得到提高,从根本上促进学生的进步和发展.

二十多年的基础课堂教学实践又证明,一题多解的教学微设计要求教师做好引导启发,同时,竭力鼓励学生主动思考、积极探索.可以促进学生经历知识产生的过程,理解并且掌握基础知识、基本技能及其应用,感悟并熟悉数学思想方法,学生学得更明、更好、更深；可以促进学生学会好的思考方法,提升学习能力,达到不需要教的境界,学生学得更多、更快、更强.

有效课堂的探索还在不断深入,而一题多解的教学设计将永不落寞.它会不断散发出神奇的魅力,感召我们的数学课堂探微知著,一探到底.