阅读理解型问题在初中数学中的应用

【关 键 词 】初中数学　阅读理解型问题

【中图分类号】G　【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2012）09B-0087-02

培养学生的阅读理解能力,提高学生的数学应用能力和解题能力是初中数学新课程的主要目标之一.近几年,在全国各地中考数学试题中经常出现阅读理解型问题.这种题特点鲜明,文字叙述较长,内容丰富,信息量较大,题目“源于课本,高于课本”,考查方向灵活多变,既可考查学生的阅读能力、信息处理和知识迁移能力,又可考查学生的数学意识、数学思维、创新意识和解题能力.本文通过对几道典型试题的解析,说明阅读理解题的特点、难点以及如何正确、快捷处理这类问题.

一、阅读理解型问题的命题模式和解题策略

阅读理解型问题,一般涉及内容丰富,构思新颖别致.它由两部分组成：一是阅读材料,二是考查内容.该类题型命题的一般模式是：先给出一些新的材料（包括新的数学概念的形成和应用、新的数学公式的推导与应用,或新闻报道等）让学生阅读理解,再出示问题,让学生运用知识去解决问题,这些知识涉及课本内容的方方面面,而函数与统计方面遇到较多.解答阅读理解型问题的关键在于通过阅读,理清阅读材料的脉络,弄清材料中隐含的新数学概念、数学规律和新解题方法等有价值的信息,归纳总结问题条件、数学思想方法以及解题的方法技巧,然后展开联想,利用新信息、新知识、新方法构建相应的数学模型来解决问题.

二、阅读理解型问题的主要题型分类

(一)判断概括型,即需要正确理解题意和内容、方法和思想,通过阅读特殊范例,推出一般结论的题型.

【典型例题1】在△ABC中,AB、BC、AC三边的长分别为、、,求这个三角形的面积.小辉同学在解答这道题时,先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1）,再在网格中画出格点A、B、C（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处）,如图1所示.这样不需求△ABC的高,而借用网格就能计算出它的面积.

（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上 .

（2）我们把上述求面积的方法叫做构图法.若△ABC三边的长分别为a、2a、a（a＞0）,请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC,并求出它的面积.

（3）若△ABC三边的长分别为、、2（m＞0,n＞0且m≠n）,试运用构图法求出这个三角形的面积.

【解析】（1）△ABC内接于边长为3的正方形,△ABC的面积等于正方形面积减去正方形内与△ABC相邻的三个直角三角形的面积.这三个直角三角形的面积等于分别以AB、AC、BC为对角线的三个长方形面积的一半.从每个小方格的面积为1×1等于1,可直接知道这三个长方形的面积分别为2、3、6,所以

S△ABC等于9-×2-×3-×6等于3.5.

（2）由（1）知,△ABC的三条边都分别是三个直角三角形的斜边,依题意,这三条斜边是a等于a、2a等于a和a等于a.根据勾股定理可画出这三条边构成的△ABC.△ABC内接于长为4a,宽为2a的长方形,如图3所示,图中每个小方格的面积为a2.仿（1）的解法可得

S△ABC等于8a2-×2a2-×4a2-×4a2等于3a2.

（3）△ABC的三条边分别为

等于、等于、

2等于.△ABC内接于长为4n,宽为3m的长方形,如图4所示,图中每个小方格面积为mn.仿（1）的解法可得

S△ABC等于12nm-×4nm-×4mn-×6mn等于5mn.

【点评】本题主要考查勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形面积的计算,解题关键是读懂题意,学会知识迁移.

(二)方法模拟型,即需要阅读试题信息,归纳总结解题规律,提炼数学解题方法的题型

【典型例题2】为了探索代数式

+的最小值,小明巧妙地运用了数形结合思想.具体方法是这样的：如图5,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连结AC、EC.已知AB等于1,DE等于5,BD等于8,设BC等于x,则AC等于,CE等于,问题转化成求AC+CE的最小值.

（1）我们知道当A、C、E在同一直线上时,AC+CE的值最小,于是可求得+的最小值等于 ,此时x等于 ；

（2）请你根据上述的方法和结论,试通过构图求出代数式+的最小值.

【解析】（1）过E点作EF∥BD,交AB的延长线于F点,如图6.根据题意,四边形BDEF为矩形,AF等于AB+BF等于5+1等于6,EF等于BD等于8.

∴AE等于等于10,即AC+CE的最小值是10.

∵EF∥BD,∴等于,

∴等于,解得x等于.

（2）依题意设BC等于x,由AC等于等于,根据勾股定理可知AB应为2.同理,由CE等于等于可知BD应为12,DE应为3.据此可构图7,解法仿（1）得AE等于等于13,即AC+CE的最小值是13.

【点评】本题主要考查了最短路线问题和勾股定理应用.根据数形结合思想,通过构造直角三角形,利用勾股定理求解是解题关键.

（三）迁移发展型,即需要通过阅读掌握新知识和新信息,利用题中提供的新定义、新定理,来解决新问题的题型.解答这类题的关键是仔细阅读题目,理解其实质,把握其方法,总结其中的规律,巧妙借助题目提供的信息来解决问题.

阅读理解型问题的处理一般都要经过“阅读—理解—归纳、应用、拓展”的过程,通过仔细阅读题目将题中的信息转化成数学问题,利用题目告诉的规律、方法,结合我们平时所学的数学知识,形成科学的思维方式,得出处理问题的策略,进而解决问题.这就要求教师在平时的课堂教学中,不仅要让学生掌握数学基础知识,更要重视学生阅读理解、知识迁移、分析转化、探索归纳、思维创新等多方面能力的培养.

（责编　王学军）