借“猜想”推进数学教学

素质教育的核心是创新能力的培养,猜想是创新的萌芽,“没有大胆的猜想,就没有伟大的发现”.猜想是对研究的对象或问题进行观察、实验、分析、比较、联想、类比、归纳等,依据已有的材料知识作出符合一定的经验与事实的推测性想象的思维方法,而数学猜想是指依据某些已知事实和数学知识,对未知量及其关系所作出的一种似真推断.

学生学习的主要渠道是课堂,教师常通过例题、定理、习题的分析、推理、运算来达到问题的解决和能力的培养,而教材的例题均蕴含着丰富的知识内涵和思维创新点,因此数学教学中教师应善于捕获时机诱导学生积极猜想,学生在积极参与猜想过程中创新能力得到培养.

例.已知正三角形的边长为　,求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积

解：如右图,设大圆和小圆的半径分别为R和r,则

至此,教师应适时地点燃学生创新思维的火花,诱导学生大胆猜想.

师问：由例1你猜想哪些结论?

生1：圆环的面积只与正三角形的边长有关,而与圆半径无关.

生2：若将条件中“正三角形改为正方形、正六边形结果不变”.

为什么会发生这样的情况?这个结论在上述计算过程中很容易证明,既然这样我们能否将结论推广到一般情况能呢?

生3：已知正n边形的变长为　,则它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积为　.

因此,我们作为教师在例题数学中应适时地点拨,让学生循序渐进地猜想,这样能有效地激发学生的思维活动,有助于培养学生的创新能力.

当然数学教学中,教猜想、学猜想、借猜想推进教学.但下面两个问题也要值得注意.

首先,教师要有允许、鼓励学生猜想的意识.教师应在课堂教学中渗透“猜想+证明”这一科学思维方法,揭示知识发生、发展的过程,改变以往“满堂灌”的教学方式,留出一定的时间和空间让学生主动探索,学生在这样的学习过程中重演了数学家当时的探索历程,通过猜想验证,自己去探索数学规律、发现数学结论,这样的数学,不是教师给予学生什么数学知识,而是学生自己发现了什么数学知识,让学生猜想,并非只能在“命题教学”中进行,也可以在“习题教学”甚至是“概念教学”中进行.

我们提倡教猜想、学猜想,并不是说要求每一节课,甚至每环节都让学生去猜想,这是不现实的.但至少是一学期中有那么几次、十几次课能让学生体验猜想的乐趣,在这个过程中,慢慢培养学生的创新能力.

再次,教师要有帮助、推动学生猜想的行为.猜想不是瞎想,而是有一定根据的猜测,猜想也不可能大幅度、一步到位地猜到结果,而需要一步一步地逐次推进.教师在教学中应创设相应的问题情境,提供一定的猜想平台,必要时搭建脚手架或台阶,帮助、推动学生猜想.可以说,猜想是一个师生合作、生生合作的活动.

人贵在创新,培养学生的创新能力是数学教学的一项重要任务,数学发展的趋势已越来越重视创新能力的培养,因此我们做为教师应不失时机地深挖教材,让学生大胆猜想,激发学生的创新潜能,把创新能力的培养与例题教学有机的结合起来.

心理学表明,思维是学习过程中智力的核心,一般要经过动作思维、形象思维、逻辑思维三个发展阶段.动作思维是一种初级的思维形式,可以促进其他两种思维的快速发展．在数学的学习过程中,让学生动手操作,从中发现规律,并通过探讨、归纳、总结的过程,体验数学,从而培养学生分析问题和解决问题的能力．实现了对知识的正向迁移.这也迎合了《数学课程标准》中提出的“培养学生动手能力,体验数学,享受数学等”的要求.如：椭圆的概念教学时,先让学生用事先准备的两个小图钉和一长度为定长的细线,将细线的两端固定,用铅笔把细线拉紧,使笔尖在纸上慢慢移动,画出了一个椭圆,然后提出问题思考讨论,创设让学生实践操作的问题情境：

问题一：如何画椭圆,引导观察椭圆上的点有何特征?

问题二：当细线的长等于两定点之间的距离时,其轨迹是什么?（学生动手实验）

问题三：当细线的长小于两定点之间的距离时,其轨迹是什么?　（学生动手实验）

问题四：你能给椭圆下一个定义吗?最后教师再揭示本质,给出定义.

这样,学生经过了感性认识——分析思考后,对椭圆定义的实质就会掌握得很好,不会出现忽略椭圆定义中的定长应大于两定点之间的距离的错误,让学生在讨论体验这些方法的形成过程,使学生的理解加深了,通过问题的解决一方面可以让学生掌握相关知识,同时也培养了学生通过发现、分析、归纳、的思维方式的能力.

中学数学有很多内容抽象难以掌握.如代数中的函数和解析几何中曲线性质的研究；立体几何中空间图形,翻折变换,线面位置关系；柱、锥、台的侧面展开过程；有关射影的性质等等.若运用计算机多媒体技术,可以把文字、声音、图形、动画、色彩与闪烁结合起来,利于直观教学,情景教学,这就为学生认识概念创设了一个很好的认知环境,在探索问题、提高学生学习兴趣、扩大获取信息的渠道和信息量、增强教学效果、培养学生创新能力等这些方面都有着其他教具无法替代的作用.如三角函数y等于Asin（ωx+φ）的图象一课中,由于学生对A、ω、φ的改变引起的图形变化感到繁难又复杂,以致正确画图感到困难,运用相应的教学软件—《几何画板》后,只要改变A、ω、φ中的任意一个值,就可以观察图象所发生的变化,学生就很容易归纳出规律.学生只有运用多学科知识来解决问题,才能施展创新组合知识的才华.为此,我们开设了“数学研究型学习”这门选修课,让学生以数学知识为载体,综合物理、化学等知识书写论文,并进行论文答辩.有一个学生写的《勒沙特列原理与数学》的论文就很有新意,她从法国化学家勒沙特列在高三化学书中的一段名言：“如果改变影响平衡的一个条件,平衡向能够减弱这种改变的方向移动”出发,把它抽象成若干相关变量对应的函数值,构建成面积模型与体积模型,并对其进行了评价.模型的优点是直观、生动,使脑海中真正有了动殇的移动过程；缺点是两个模型都是由一端向另一端移动,不能很好地表现反应的双向性.于是,她又运用了摆动数列在极限两恻摆动的思想来进行解释.全篇论文思维的纵横驰骋、知识的创新组合使人赏心悦民大开眼界.可见,给学生一个创新的时空,他们就会用所学的知识组合出创新的精品.