算法思想融入《计算机数学》课程教学的与实践

摘 要：本文立足于《计算机数学》课程改革,分析了目前《计算机数学》课程教学中存在的主要问题,提出从算法思想的融入为着手点进行高职计算机数学课程改革,并对算法思想的概念与来源进行了考证,对算法思想融入《计算机数学》途径与方法提出了自己的观点.

关 键 词：计算机数学教学算法与算法思想途径方法

“计算机的基础是软件,软件的基础是算法,算法的基础是数学.”“我们希望在教学过程中,培养学生的数学思想,算法思想,而不应该把重点放在培养学生的计算能力上.”“希望能有更有针对性的算法思想的训练,使学生理解数学培养的是一种思维方式.”计算机老师们这样评论《计算机数学》的改革.

可以看到,现在需要一种更有用的数学,对于《计算机数学》课程而言,它需要承载的是计算机专业从业人员的思想方法与职业素养的培养.本文将从算法思想的概念与实质、算法思想的渊源、算法思想与高职数学的融合方法与途径等方面探讨这个问题.

一、算法思想的概念与渊源

1.什么是算法与算法思想

李文林在其著名的《数学史概论》中指出：“所谓‘算法’,不只是单纯的计算,而是为了解决一整类实际和科学问题而概括出来的,带一般性的计算方法,等它们是一种归纳思维能力的产物,这种能力与欧几里得几何的演绎风格迥然不同而又相辅相成.”

算法可以理解为有基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤.或者看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列,并且这样的步骤和序列可以解决一类问题.一个算法应该具有以下七个重要的特征：（1）有穷性（Finiteness）；（2）确切性（Definiteness）；（3）输入项（Input）；（4）输出项（Output）；（5）可行性（Effectiveness）；（6）高效性（Highefficiency）；（7）健壮性（Robustness）.

算法思想则指对算法的设计、实施,以及对算法的改进等一系列与算法有关问题本质的理性认识层次上的思维活动的结果.

同一问题可用不同算法解决,而一个算法的质量优劣将影响到算法乃至程序的效率的高低.一个算法的评价主要从时间复杂度和空间复杂度来考虑.

2.中国古代的算法思想

从历史上看数学的发展包括两大主要活动：证明定理和创造算法.定理证明是希腊人首倡,后构成数学发展中演绎倾向的脊梁；算法创造昌盛于古代和中世纪的中国、印度,形成了数学发展中强烈的算法倾向.

中国古代数学就有明显的算法特征,成书于公元前1世纪的《九章算术》是这方面的典范,其中收录了大量的古代算法,譬如约分的“更相减损”原理、秦九韶算法和割圆术,等等.著名学者吴文俊先生认为：“中国古代的数学是一种算法的数学,也是一种计算机的数学.进入到计算机时代,这种计算机数学或是算法的数学,刚巧是符合时代要求,符合时代精神的.从这个意义上来讲,我们最古老的数学也是计算机时代最适合、最现代化的数学.”

我国古代最著名的有数学书籍有《算经十书》,它是指汉、唐一千多年间的十部著名数学著作,它们曾经是隋唐时候国子监算学科（国家所设学校的数学科）的教科书.十部算书的名字是：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《五曹算经》、《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《五经算术》、《缉古算经》、《缀术》.这十部算书,以《周髀算经》为最早,对古代数学的各个方面全面完整地进行叙述的是《九章算术》,它是十部算书中最重要的一部.

书中记载了当时世界上最先进的分数四则运算和比例算法.书中还记载有解决各种面积和体积问题的算法及利用勾股定理进行测量的各种问题.《九章算术》中最重要的成就在代数方面,书中记载了开平方和开立方的方法,并且在这基础上有了求解一般一元二次方程（首项系数不是负）的数值解法.还有整整一章是讲述联立一次方程解法的,这种解法实质上和现在中学里所讲的方法是一致的.这要比欧洲同类算法早出一千五百多年.在同一章中,还在世界数学史上第一次记载了负数概念和正负数的加减法运算法则.

3.近代数学中的算法思想

事实上,作为近代数学诞生标志的解析几何与微积分,从思想方法的渊源看都是算法倾向的产物.

从微积分的历史可以知道,微积分的产生是寻找解决一系列实际问题的普遍算法的结果.这些问题包括：决定物体的瞬时速度、求极大值与极小值、求曲线的切线、求物体的重心及引力、面积与体积计算等.从16世纪中开始的100多年间,许多大数学家都致力于获得解决这些问题的特殊算法.牛顿与莱布尼兹的功绩在于将这些特殊的算法统一成两类基本运算——微分与积分,并进一步指出了它们的互逆关系.

而对于解析几何的诞生,通常认为,笛卡儿创立解析几何的基本思想,是用代数方法来解几何问题.如果我们去阅读笛卡儿的原著,就会发现贯穿于其中的彻底的算法精神.《几何学》开宗明义就宣称：“我将毫不犹豫地在几何学中引进算术的术语,以便使自己变得更加聪明.”解析几何将一切几何问题化为代数问题,这些代数问题则可以用一种简单的、几乎自动的方法去解决.这与古代中国数学家解决问题的路线可以说是一脉相承.

二、计算机数学教学过程中算法思想融入的途径与方法

计算机数学是计算机专业的一门基础课程,它不仅为计算机专业其他课程的学习提供必要的数学知识,为计算机应用提供必要的数学思想,而且为计算机专业学生数学素养的养成提供必要的环境.

一直以来,高职计算机数学教学内容其实是变相的高等数学,重点讲述极限、导数、微分、积分,然后附带介绍一些图论,逻辑代数的知识,且由于后面的离散数学部分内容不多,所占期末考试比例15%左右,大部分学生认为学的计算机数学等同于高等数学.有些老师说,不是不想改,而是不知道怎么改才对.其实这有个摸索的过程.尤其是高职阶段,课程压缩得很厉害,大多数只开一个学期,要讲微积分,要讲补充内容,要讲数学实验,的确也很紧张.这也就需要我们认真研究算法思想渗透的方法与途径.可以从以下几个方面进行考虑.1.算法思想与计算机数学文化史的介绍相结合

数学文化史的介绍在高职数学的介绍中起着重要的启发、引导的作用,英国数学史家福弗尔（J.Fauvel1947—2001）曾总结出应用数学史于数学教学的十五个理由,其中有：（1）增强学生的学习动机；（2）改变学生的数学观；（3）因为知道并非只有他们自己有困难,因而会感到欣慰；（4）使数学不那么可怕；（5）有助于保持对数学的兴趣；（6）给予数学以人文的一面；（7）通过古今方法的对比,确立现代方法的价值；（8）为学生提供探究的机会；（9）过去的发展障碍有助于解释今天学生的学习困难.

中国的数学史中有大量有关算法思想的内容,在介绍极限思想时,割圆术求圆面积就是一个很好的引入数学史的例子.

《算经十书》中的第三部是《海岛算经》,它是三国时期的刘徽（约225—295）所作.这部书中讲述的都是利用标杆进行两次、三次、最复杂的是四次测量来解决各种测量数学的问题.这些测量数学,正是中国古代非常先进的地图学的数学基础.此外,刘徽对《九章算术》所作的注释工作也是很有名的.一般地说,可以把这些注释看成是《九章算术》中若干算法的数学证明.

刘徽注中的“割圆术”开创了中国古代圆周率计算方面的重要方法,他还首次把极限概念应用于解决数学问题.通过割圆术求圆面积的方法,使学生在感受中国古人的聪明智慧的同时,学习这种无限细分,无限接近的计算方法.

2.算法思想与计算机数学教学内容相结合

在高职计算机数学教学中,我们都要介绍数制的基本计算方法,二进制、八进制、十进制的互相转换.对于这个部分,我们可以在课堂上设计这样的教学情境：“能让计算机帮你进行数制转换吗?”由于学生已了解了数制之间的转换规律,只要介绍N-S流程图,就可以鼓励学生创造自己的算法.我们可以先对算法进行介绍,使学生理解算法的四种基本结构“顺序、选择、当型循环、直到型循环”,并做例题1：给出求10!并打印的N-S流程图（见图一）.

和例题2：求出1到100顺序相加的过程中末位数是0的和,并把它们打印出来（见图二）.通过这两个流程图案例,使学生理解流程图的基本设计方法与步骤.最后请同学们自己尝试做十进制转换成二进制的流程图（如表一）,在此过程中,同学们可以讨论,提问,最后分小组回答,使同学们对算法的七个特征有更深刻的认识,能运用基本特征对算法的优劣作出自己的评价.

过程是最重要的,让同学们设计算法,比较算法,评判算法的优劣,从而对算法概念形成自己的理解.

3.算法思想与计算机数学实验教学内容相结合

除了高等数学中常见的数学实验内容,如函数求值,极限、导数、积分的计算等,计算机数学可加入算法实践,编程等实验内容.如可在实验中带有实际应用意义的问题,使学生综合应用所学数学知识,分析实际带有建模意义的实际问题,并通过建立算法,设置程序予以解决.如兔子问题：“一对刚出生的幼兔经过一个月可以长成成兔,成兔再经过一个月后可以繁殖出一对幼兔.如果不计算兔子的死亡数,请给出在未来12个月中每个月的兔子对数.”在数学实验课上,老师可引导学生用树状图来表示兔子增长规律,然后让学生列出流程图（图略）,最后编出简单程序用数学软件matlab或mathematica来计算：

执行结果：233.即一年以后小兔的数量为233对.

再比如在积分课程开始之前,可以设计一节数学实验课程,让学生求一块任意封闭图形的面积,通过设计无穷级数求和的方法,使学生通过自己的实验发现面积的分割求法,并自己设计算法,进行计算,可编程如下：functions等于def（f,a,b,m）

运行程序,可得不同n时的不同S值,使学生更直观地理解和式极限的概念.在下一节课上讲定积分的概念时,学生就自然而然地理解了定积分的式子与概念.通过算法对基础概念的阐释方式,有利于高职学生理解抽象的数学概念.

三、结语

算法是一种思想,它与函数思想的一样,也是一种需要通过训练得来的数学思想,《计算机数学课程》是算法思想培养的良好途径.愿以本文抛砖引玉,与广大数学教师一起探讨如何更好地推进《计算机数学》教学改革,促进信息学院学生职业能力与学习发展能力的养成,使数学课成为对高职学生终身受益的一门课程.