数形结合的重要性

数形结合的思想方法是贯穿于整个高中数学的知识体系当中,它是贯穿高中数学课程的一条主线,它不仅是我们解题的一种思想方法,更重要的是它是我们进一步学习、探索和研究数学的有力武器.

恩格斯是这样来定义数学的：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”.这就是说：数形结合是数学的本质特征,宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一.因此,数学学习中突出数形结合思想正是充分把握住了数学的精髓和灵魂.

我认为数形结合思想是贯穿高中课程的主线,也是数学最本质的思想方法之一,它的实质是把抽象的数学语言、数量关系和直观的图形结合起来,它包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面.它渗透到各个章节的角角落落里,直观的感受让我们形成了对事物的感性认识,为我们加深理解定义概念和性质打下了基础,很多探索性的研究都是从图形开始的,数形结合的数学思想方法是研究数学问题的一个非常重要的思想方法.

数与形是数学中两个最古老的、也是最基本的研究对象,它们在一定条件下可以相互转化（注意：在此意义上可说,转化思想比数形结合思想更深一层.这也是飞华数学老师将转化思想放在首位的原因）,如某些代数问题、三角问题往往都有几何背景,而借助其背景图形的性质,可使那些抽象的概念、复杂的数量关系变得直观,以便于探求解题思路或找到问题的结论.数形结合,不仅是一种重要的解题方法,而且也是一种的思维方法,因此它在数学中占有重要的地位.

数形结合的解题方法特点是具有直观性、灵活性、深刻性,并跨越各科的知识界限,有较强的综合性.在复习中加强这方面的训练,对巩固和加深有关数学知识的理解、打好基础、提高能力是非常重要的.

数形结合解题就是在解决与几何图形有关的问题时,将图形信息转换成代数的信息,利用数量特征,将其转化为代数问题；在解决与数量有关的问题时,根据数量的结构特征,构造出相应的几何图形,即化为几何问题.从而利用数形的辩证统一和各自的优势尽快地得到解题途径,这对提高分析和解决问题的能力将有极大的帮助.

“形”中觅“数”：很多数学问题,需要根据图形寻求数量关系,将几何问题代数化,以数助形,使问题获解.“数”上构“形”：很多数学问题,本身是代数方面的问题,但通过观察可发现它具有某种几何特征,由于这种几何特征可以发现数与形之间的新关系,从而将代数问题化为几何问题,使问题获解.以上两者之间是相互联系的.例如在解析几何中,虽然研究的主要方面是用方法解决几何问题,但是由于我们在研究中得到某些代数表达式具有明显的几何意义,则可在确定合适的坐标系后获得几何解释,从而能借助几何方法加以解决.

众所周知数与形这两个基本概念,是数学的两块基石,可以说全部数学大体上都是围绕这两个基本概念的提炼、演度、发展而展开的,在数学发展进程中,数和形常常结合一起,在内容上互相联系,在方法上互相渗透,在一定的条件互相转化.

在现实世界中,数与形是不可分离地结合在一起的,这是直观与抽Q明相结合,感知与思维相结合的体现.数与形相结合不仅是数学自身发展的需要,也是加深对数学知识的理解、发展智力、培养能力的需要.从表面上看来,中学数学内容可分为数与形两大部分,中学代数是研究数和数量的学科,中学几何是研究形和空间形式的学科,中学解析几何是把数和形结合起来研究的学科,实际上,在中学数学各科教学中都渗透了数与形相结合的内容.如：

例：在正三角形ABC外接圆的弧BC上任取一点P,求证：

（1）PB＋PC＝PA；（2）PBPC＋AB2＝PA2

分析：设正△ABC边长为a,PA等于XPB等于YPC等于Z由∠BPA等于∠CPA等于60°

对△PAB和△PAC使用余弦定理,有：x2+y2-xy等于a2x2+z2-xz等于a2

即：y2-xy+x2-a2等于0z2-xz+x2-a2等于0

Y、Z是关于U的方程：u2-xu+x2-a2等于0的两个根.

由韦达定理有：Y+Z等于XY-X等于X2-A2

即：PB+PC等于PAPBPC+AB2等于PA2这是几何问题转化为代数问题中的三角法.

运用数形结合能揭示数学问题的条件和法论之间的内在联系,既分析其代数含义,又揭示其几何意义,使数量关系和空间形式的巧妙和谐地结合起来,并充分利用这种结合寻找解是思路,使问题得到解决的思想方法,在分析问题的过程中,注意把数和形结合起来考察,根据问题的具体情形,把图形性质的问题转化为数量关系的问题,或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,化难为易,获取简便易行的方法.

运用数形结合思想,包含两方面的内容：一、是运用代数,三角知识,通过数量关系的讨论,去处理几何图形的问题；二是运用几何知识,通过对图形性质的研究,去解决数量关系的问题,就具体的实施方法而论,前者常用的方法有图表法、图解法等.

数形结合的方法作为数学学科里最常用的一种方法,在课堂教学中要通过数形结合的教学培养学生的思维品质,善于把问题加以转换化的能洞察事物的本质,描示出被掩盖的某些特征.善于结合题目的条件,突破思维定势,及时调整以前的思维途径.能独立地发现、分析和解决问题.解决问题过程中,有意识地进行数形构造,提出新方法,解决新问题.

在教学中应充分调动学生的积极性,在平常的教学活动中让学生学到数形结合的方法.数形结合的教学应当循序渐进,与知识教学学生认识水平相适应,按照反复孕育渗透,初步形成,应用发展,系统整理的顺序逐步完成.在不同的教材中提出不同的教学要求,落实到学生的认知活动中去.精心识但学生训练,并注意与其它的方法综合运用.让学生团龄身于具体的教学过程,才能在教师的引导下逐步领悟,理解和掌握.

数与形是中学数学研究的两类基本对象,相互独立,又互相渗透.尤其在坐标系建立以后数与形的结合更加紧密,而且在实际应用中若就数而论,缺乏直观性,若就形论缺乏严密性,当二者结合往往可优势互补,收到事半功倍的效果.