动态投入产出模型的计算机控制算法

[摘 要] 利用计算机对经济学的离散事件广义动态投入产出模型进行模拟与控制,以使国民经济能够协调发展.通过使用一种新的数学方法―线性矩阵不等式,动态广义投入产出模型不需要转化成一般形式可以直接研究其稳定性,从而可以减少研究的复杂性.首先提出了一个动态投入产出模型一类稳定的条件,并基于此设计了相应的反馈控制器,然后利用计算机编写相应的模拟与控制程序,实现了对动态投入产出模型的计算机控制.

[关 键 词 ] 动态投入产出模型 经济控制论 计算机控制系统

近来,经济学家逐渐重视经济系统的计算机控制问题的研究.最初计算机主要用来求解经济系统的方程.此后,由于需要对经济系统进行模拟与控制,对经济系统进行计算机控制成为研究的热点.目前,在投入产出问题的研究中,投入产出模型一般通过选取适当的状态向量等把广义系统转换为一般系统.本文将使用线性矩阵不等式直接研究离散广义模型,提出模型稳定的一个充分条件,并设计相应的计算机控制系统.

一、经济模型的建立

考虑经济控制论中的广义动态投入产出模型：

（1）

其中rankB等于r

二、主要结果

首先考虑的情况,系统（1）转化为

（1-1）.

定理1：离散时间广义动态投入产出模型（1-1）是可容许的,如果存在适当维数的矩阵p>0,Q和S满足：

（3）（4）

其中.

证明：根据线性代数,存在两个非奇异矩阵M、N满足

,此时,S可以选择为：.

令：将上式代入(3)中,我们可以得到

其中.

从上式,可以推出<0,并且矩阵T4是非奇异的.令:T＝I-A+B.

则有.

显然是不恒等于零的,且其次数为rankB,所以是不恒等于零,并且.因此模型（1-1）是正则、因果的.则根据,存在两个非奇异矩阵和使得

此时S可以选作:.定义 .

把上面两式代入（3）,我们得到：

.

根据Schur补引理,我们知道,因此的所有根都位于以原点为圆心的单位圆内.因此系统（1-1）是稳定的.因此也是可容许的.

注记1：定理1提供了一个离散时间广义动态投入产出模型是可容许的充分条件,基于此可以设计相应的控制器.

定理2：离散时间广义动态投入产出模型（1）是可容许的,如果存在适当维数的p>0,Q,G和S满足：

（5）

其中

.

此时,状态反馈控制器可以设计为.

证明：将控制器代入系统（1）,则有

（6）

下面我们证明系统（6）是可容许的.根据（5）则有

根据定理1,可知系统是可容许的.定理2得证.

三、计算机控制系统

根据定理2,我们利用matlab的LMI工具箱求解相应的控制参数,从而可以设计相应的计算机控制系统.在这里我们考虑参数如下的系统（1）：

容易验证系统（1）的开环系统是不稳定的.利用matlab得到定理2的解是：,,

则控制器可以设计为：

.则系统转化为.

利用计算机模拟其状态曲线,系统是稳定的.

本文利用线性矩阵不等式的方法,对离散时间广义动态投入产出模型进行了直接研究而并不需要把广义系统转化为一般系统.在本文中,证明了模型稳定的充分条件,并设计了相应的计算机控制系统.本文的作者非常感谢所有给文章提出意见和建议的专家学者.