三角恒等变形中的一题多解

三角恒等变形中的题目变换非常多,解题思路很广,下面就两道题谈一谈它的几种解法.

例1：设角α∈（0,π）,sinα+cosα等于,则cos2α的值是（ ）

A. B. - C. - D. 或-

这道题如果不认真分析,从题目中给的条件α∈（0,π）,从而2α∈（0,2π）,所以cos2α就应该有两个值.答案选D,那就错了.但在课堂上,学生的思路还是很清楚的,有学生很快就上黑板展示了他的方法.

方法一：由sinα+cosα等于,平方得2sinαcosα等于-,所以可得到α∈（,π）,进而α∈（,）,所以2α∈（π,）,所以cos2α等于-等于-.

方法二：因为cos2α等于cos2α-sin2α等于（cosα+sinα）（cosα-sinα）只需求出cosα-sinα的值,由sinα+cosα等于,平方得2sinαcosα等于-,所以可得到α∈（,π）,所以cosα-sinα等于-等于-等于-等于-.

方法三：由sinα+cosα等于,得sin（α+）等于,所以sin（α+）等于,由α∈（,π）,得α+∈（,）,cos（α+）等于-等于-,cos2α等于sin（2α+）等于sin[2（α+）]等于2sin（α+）cos（α+）等于2××（-）等于-.

例2：求y等于tan20°+4sin20°的值.

分析1：运用切割化弦,通过通分化简后,若不考虑将和式转化为积式,而是对角进行变换,观察到运算的式子中出现的两角为20°,40°,与特殊角比较则会有60°-40°等于20°,变角后再应用两角差的正弦公式展开进行化简.

分析2：我们在运用“切割化弦”时,若不利用商数关系tanθ,而是将 tan20°利用半角公式tan等于进行化弦,也能进行求值.

解法2：

点评：本题利用综合法求得了tan20°+4sin20°的值,在这里首先进行角的变换,然后利用两角差的正弦公式展开,合并同类项后,再进行弦化切割,从而得到所要求的值.

以上我们探寻了不查表求非特珠角的三角函数的值的问题,对于这类问题,要从多方面考虑解决的方法,在这里我们是从三角函数的“变名”“变角”“变式”“切割化弦”弦化切割”等方面而进行了三角恒等变形,这在以后的学习训练中要逐步体会掌握.

总之,一题多解,在这里很常见,我们要培养学生用巧妙灵活的方法去解题.