办法总比困难多,一题多解教学乐

学好数学离不开解题,而数学习题浩如烟海,变化无穷,我们该怎么办呢?我们可以提高习题的利用率来提高解题的能力.在解题教学中可通过典型例题的解题教学及解题训练,尤其是一题多解、一题多变及多题归一等变式训练,达到使学生巩固与深化所学知识,提高解题技巧及分析问题、解决问题的能力,增强思维的流畅性、变通性和独创性的目的.把枯燥无味的数学学习变得有趣多样,从而形成快乐学习的氛围.下面我从三个方面三个例子来谈谈我在进行一题多解教学中的感受：

一、利用一题多解,震撼学生心灵,激发学生学习数学的学习兴趣

在学习一元二次方程根与系数的关系时,学生做了这样的一道习题：

例1.如果7是关于x的一元二次方程x2+mx-21等于0的一个根,

求该方程的另一根及m的值.

讲解时我不动声色地认认真真地讲解大家所采用的常规方法,也就是将7代入原方程求得m的值,再将m的值代入原方程中求得两根,从中挑出另一根,并详细地板书在黑板上,细细想来利用这种方法解题有许多学生感到心理有点不顺畅.然后我再请出韦达先生来帮忙：设另一根为x1,依题意可得：7+x1等于-m

7x1等于-21,解得：x1等于-3

m等于-4.学生被这么简捷地解决一个感觉繁琐的问题而震撼了,怎么可以这么简单呢?当然在被震撼的同时,学生也就接受了根与系数的关系这一重要性质,并会主动去思考如何应用了.

二、利用一题多解,引导学生开拓思路,提高解题能力,培养良好的思维习惯

以鹭江出版社出版的《新课程中考复习指导丛书——数学》

一书中空间与图形中的一题为例：

例2.如图,AB是⊙O的直径,AE是弦,点

C是弧AE中点,CD⊥AB于D,交AE于F.

求证：AF等于CF

很多同学在分析这道题时,感到题目所给条件简单,不知该从何处下手,下面是我在教学中利用一题多解的方法进行讲解并引导学生如何切入审题.

方法一：AB是⊙O的直径→（连结AC、BC）∠ACB等于90°,又CD⊥AB（形成双直角三角形）∠ACD等于∠B,结合条件“点C是弧AE中点”得到∠CAE等于∠B,得∠ACD等于∠CAE,从而得证.

这个证法是从第一条件推理“直径所对的圆周角等于90°”,并综合利用第三个条件“CD⊥AB”引发联想“双直角三角形”,再由弧的中点推理“等弧所对的圆周角相等”“等量代换”“等角对等边”思维简洁流畅.

方法二：点C是弧AE中点→（连结OC交AE于G）OC⊥AE,又CD⊥AB,→∠CDA等于∠CGF等于90°,而∠DFA等于∠CFG→∠FAD等于∠GCF,又OC等于OA→∠CAO等于∠OCA,得∠ACD等于∠CAE,从而

得证.

这个证法是从第二个条件引发联想“连结OC”形成垂径定理推论的条件,并综合利用第三个条件“CD⊥AB”引发推理“等角的余角相等”“等边对等角”“等量减等量差相等”“等角对等边”思维流畅,就是图形有点复杂,角处在交错的线条之中.

方法三：CD⊥AB→（延长CD交⊙O于点H）弧AH等于弧AC,又点C是弧AE中点,弧AE等于弧AC,故弧CE等于弧AC,→∠ACD等于∠CAE,从而得证.

这个证法是从第三个条件引发联想“延长

CD”形成垂径定理,再利用推理“等量代换”“等弧所对的圆周角相等““等角对等边”,思维简洁流畅,学生进行对比后自然会发现方法三最为简洁明了.

本题题目仅给出了三个条件,以上方法相似度检测绍了从每一个条件进行挖掘、联想都可产生不同的证法,思路都很顺畅,从而对学生的思维产生了震撼作用,在反思总结中,从这道题中有效地感受到了应该如何分析题目形成解题思路.

三、在进行题目讲解时,注意运用一题多解归纳出常规的推理,避免产生思维紊乱、走弯路的现象

以2009年龙岩市中考题为例：

例3.如图,已知点E在△ABC的边AB上,以AE为直径的⊙O与BC相切于点D,且AD平分∠BAC.求证：AC⊥BC.

从评卷结果来看,应该说是一道比较简单的几何证明题,按

理大部分同学应该能拿下这一题的,但从平均分看却让人比较不满意,只有5.58分,得分率仅为55.8%.存在证明思路紊乱、书写不规范、证明的条件不够就下结论,甚至变更题设条件：∠1等于30°等错误.考生考卷中出现了九种证法之多,有些就难免出现条件累赘、反复,走弯路、绕圈子的现象.

下面这道题是人教版九年级上册第103页第14题的变式,原题如下：

如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D,求证AC平分∠DAB.

很明显,试题仅是把题设中的一个条件和结论进行了调换,而解题思路没有改变.

本题如果不作辅助线是无法解决问题的.首先条件“⊙O与DC相切于点C”无法用,而切线的常用辅助线有两种：①连半径,得垂直；②作垂直,得半径.指导学生归纳出这些知识并形成常规的推理,我想学生在考试时就不会出现“ 条件累赘、反复,走弯路、绕圈子”的现象了.

以上现象的发生提醒我们在平时教学中要多利用一题多解进行对比教学,让学生形成良好的审题习惯,培养思维的条理性,在审题中较快找到切入点,形成一些常规的推理,看到什么条件就联想到什么,例2就是一个典型的例子.

总之,一题多解是数学题解教学中的一种常用方法,是培养、提高学生思维能力、创新能力、分析问题、解决问题能力的有效方法.只要我们能善于运用,积极引导学生运用,就能培养学生创新能力和创造性的思维能力,而且也能减轻学生学习数学的负担,还

能提高学生学习数学的效率,从而增强学生学习数学的兴趣,让

学生感到“办法总比困难多”的信心和勇气,真正发挥一题多解在中学数学教学中应有的作用.

（作者单位 福建省永定县第三中学）