matlab与mathematica在数学教学中的应用

摘 要：早在1989年,著名科学家钱学森教授在“中国数学会教学与科研座谈会”上就提出：“电子计算机的出现对数学科学的发展产生了深刻的影响,理工科大学的数学课程是不是需要改造一番.”的确,Matlab和Mathematica软件的出现,给数学领域的教学、科研和学习带来了巨大的变化和便利.

关 键 词：matlab；mathematica；数学教学；应用

中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1992-7711(2014)06-0127

Matlab的含义是“矩阵实验室”,是MATrixLABoratory的缩写,是美国Mathworks公司推出的一个高性能的科技计算软件,它集数值计算、符号运算、图形图像处理、编程等多种功能于一体,应用非常广泛.MATLAB系统的强大功能由其核心内容(语言系统、开发环境、图形系统、数学函数库、应用程序接口等)和辅助工具箱(符号计算、图象处理、优化、统计和控制等工具箱)两大部分构成.

Mathematica是由Wolfram公司设计开发的一个数学软件,作为一种交互式数学工具软件,它的功能主要有两个方面：计算功能和作图功能.它有以下特点：①以符号运算为主,进行符号运算时非常方便.它能够做微积分中许多运算,如求极限、求导数、求不定积分、求定积分、求解微分方程、幂级数展开和幂级数的运算等；还能够做向量和矩阵的一系列运算.②绘图功能十分强大和便利,能够做平面图形(直角坐标作图和极坐标作图,还有参数方程作图),也能做三维的曲面、曲线图形；③Mathematica是通过函数、方程绘制图形的,与数学绘图的习惯一致,用户不需编制复杂的程序,直接调用内部函数和外部函数,就可以完成图形的绘制及特性的分析；④在Mathematica环境下,绘制的空间图形是活动的,通过改变观察角度,可达到最佳的视觉效果；⑤包含文本编辑和文件处.

使用matlab与mathematica来求解学习中所涉及的数学问题,可以培养学生学习数学的兴趣,也可以达到提高应用计算机来解决数学问题的能力,这是当前数学教学改革的重要方面.本文的目的就是通过探讨matlab与mathematica软件在微积分、线性代数、函数作图等方面的应用,并进行对比分析,突出数学工具的不同特点,激发学生对二者的学习兴趣,培养学生运用数学工具解决数学问题的思维.

一、Matlab和Mathematica软件在计算上的应用

1.MATLAB和Mathmatica在积分计算中的应用

Matlab计算不定积分的使用格式：int(f,var),计算定积分的使用格式：int(f,var,a,b).其中,f为被积函数,var为积分变量,a为积分下限,b为积分上限.

Mathematica中提供求积分的函数是Integrate.计算不定积分的调用格式是Integrate[f[x],x],它计算的是！f(x)dx,但结果中不含积分常数C；计算定积分的调用格式是Integrate[f[x],{x,a,b}],其中a,b分别是积分的下限和上限.

2.MATLAB和Mathmatica在矩阵计算中的应用

Matlab的所有运算都是基于矩阵的,利用Matlab强大的矩阵处理功能,可以非常方便地解决线性代数中手工计算非常繁琐的一些问题,例如求行列式的值、矩阵的逆、矩阵的秩、线性方程组的求解等.

3.MATLAB和Mathmatica在求解线性方程组中的应用

例1.(1)求下列线性方程组的通解.

x1+2x2+4x3+6x4-3x5+2x6等于42x1+4x2-4x3+5x4+x5-5x6等于33x1+6x2+2x3+5x5-9x6等于-12x1+3x2+4x4+x6等于8-4x2-5x3+2x4+x5+4x6等于-55x1+5x2-3x3+6x4+6x5-4x6等于25x1+5x2-3x3+6x4+6x5-4x6等于2

(2)求上述线性方程组的增广矩阵A的列向量组的一个极大线性无关组,并把其余向量用极大线性无关组线性表示.

Matlab程序设计：

>>A等于[1246-324；24-451-53；36205-9-1；2304018；0-4-5214-5；55-366-42]；

>>J等于rref(A)；

运行结果：

J等于

1.000000006.806811.0972

01.0000000-2.2520-0.4192

001.000000-0.2041-1.1384

0001.00000-1.4644-3.2342

00001.0000-3.1000-5.9000

0000000

结果说明：

(1)线性方程组的通解为：

k(6.080682.25200.20411.46443.10001)+(11.0972-0.4192-1.1384-3.2342-5.900)

(2)所求极大线性无关组为：a1,a2,a3,a4,a5.而其余向量用极大线性无关组可表示为：

a6等于6.08068a1-2.2520a2-0.2041a3-1.4644a4-3.1a5

a7等于11.0972a1-0.4192a2-1.1384a3-3.2342a4-5.9a5

Mathematica程序设计：

In:等于A等于{{1,2,4,6,-3,2},{2,4,-4,5,1,-5},{3,6,2,0,5,-9},{2,3,0,4,0,6},{0,-4,-5,2,1,4},{5,5,-3,6,6,-4}}；

b等于{4,3,-1,8,-5,2}；

Ａ等于{{1,2,4,6,-3,2,4},{2,4,-4,5,1,-5,3},{3,6,2,0,5,-9,-1},{2,3,0,4,0,6,8},{0,-4,-5,2,1,4,-5},{5,5,-3,6,6,-4,2}}；

RowReduce[Ａ]//MatrixForm

Out//MatrixForm等于100000010000-001000-000100-000010-0000010

In:等于Solve[A.{x1,x2,x3,x4,x5,x6}等于等于b,{x1,x2,x3,x4,x5,x6}]

Out等于{{x1→,x2→-,x3→-,x4→-,x5→-,x6→0}}

In:等于LinearSolve[A,b]

Out等于{,-,-,-,-,0}

对比分析：从程序设计看,Matlab比Mathematica简捷,且运行速度更快.

二、Matlab和Mathematica软件在绘图方面的应用

有些函数的图像,使用一般的图形图像处理软件如Photoshop等很难画出来,而使用Matlab和Mathematica软件却能很方便地对我们输入的函数绘出相应的图形.我们可以在MatlabMatlab和Mathematica软件中选择直角坐标、极坐标等不同的坐标系；可以绘出平面曲线、空间曲线、柱状图等；也可对图形作进一步的加工,如标注、添色等.

1.Matlab和Mathematica软件在二维绘图方面的应用

例2.画出y1等于sinx和y2等于cosx在区间[0,2π]的图像,正弦曲线用红色的实线画出,余弦曲线用蓝色的虚线画出.

Matlab程序设计：

>>x等于0:0.1:2pi；

>>y1等于sin(x)；

>>y2等于cos(x)；

>>plot(x,y1,‘r’,x,y2,‘b’)%plot是平面直角坐标绘图命令,r表示图形的颜色为红色,b表示蓝色.

>>title(‘正弦和余弦曲线’)%给出图标题

>>xlabel(‘time’)%给出x轴标注

>>ylabel(‘valueoffunction’)%给出y轴标注

运行结果(略)

Mathematica最基本的二维函数作图由系统函数实现这个函数的使用形式有两种：

Plot[表达式变量、下限、上限,可选项]

Plot[表达式,表达式等,变量,下限,上限可选项]

第一个使用形式用于作一个函数表达式的图形,第二个形式用于在一个图里作多个函数表达式的图形.

Mathematica程序设计：

In:等于y1[x_]等于Sin[x]；

y2[x_]等于Cos[x]；

t1等于Plot[y1[x],{x,0,2*Pi},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]},

AxesLabel->{“time”,“valueoffunction”}]；

t2等于Plot[y2[x],{x,0,2*Pi},PlotStyle->{RGBColor[0,0,1]},

AxesLabel->{“time”,“valueoffunction”}]；

Show[t1,t2]；

运行结果(略)：

2.Matlab和Mathematica软件在三维绘图方面的应用

Matlab提供了多个三维绘图命令,我们以三维曲线命令plot3为例来看三维作图的用法.

例3.绘制螺旋线:x等于2cost,y等于3sint,z等于t的图像.

Matlab程序设计：

>>t等于0:pi/50:10*pi；

>>plot3(2*cos(t),3*sin(t),t)

运行结果(略):

Mathematica程序：

ParametricPlot3D[{2*Cos[t],3*Sin[t],t},{t,0,10π}]；

运行结果(如图)：

对比分析：二者基本相当,但MATLAB程序设计容易理解、方便输入,而Mathmatica则在输入方面较为复杂,更容易出错,二者都表现出画图的强大功能.

三、结束语

综上所述,Mathmatica和MATLAB是功能强大、运用广泛的数学工具,通过二者在微积分、线性代数、函数作图等方面应用的展示(当然,二者在其他方面入数字信号处理、工程计算等有很应用),了解二者功能的不同特点,掌握二者在数学教学、学习、科研中的基本应用,减少数学学习的难度,改变数学的抽象观点,直观展现数学的风采,同时培养学生运用数学工具解决数学问题的思维及创新思维能力,激发学生学习数学和对数学工具的兴趣.