数学语言抽象性的翻译

【摘 要】数学学科的一个特征是具有高度的抽象性,正是这种抽象性让人感到数学难学,难教,本文试图就数学的抽象性发表自己的一些浅见,就如何降低抽象程度提出自己的一些做法.

【关 键 词】数学的抽象性；具体化

数学作为研究现实世界数量关系和空间形式的科学,其内容已舍弃了事物本身的一切属性,只保留了事物量的关系和物体在空间的存在形式,它是数量关系和空间形式高度抽象概括的结果.因而,数学这门学科具有非常强的逻辑性,高度的概括性和广泛的应用性.学生学习数学之所以感到难学,原因固然是多方面的,但是,一个重要的原因就是数学的抽象性.所谓抽象就是在思想中分出事物的一些属性和联系而撇开另一些属性和联系的过程.抽象有助于我们撇开各种次要的影响,抽取事物的主要的、本质的特征、并在“纯粹的”形式中单独地考察它们,从而确定这些事物的发展规律.对于数学,抽象主要包括两方面的内容：数量与数量关系的抽象,图形与图形关系的抽象.其中关系是重要的,正如亚里士多德所说：数学家用抽象的方法对事物进行研究,去掉感性的东西,剩下的只有数量和关系.数学以高度抽象的形式出现.数学的抽象性体现在概念的抽象性,数学符号,语言的抽象性,解决问题方法的抽象性等众多的方面上.而且数学的抽象性是逐级抽象,下一次的抽象是以前一次的抽象材料为具体背景,因而高度的抽象必然有高度的概括性,因而带来高度抽象性的数学语言.正是这种抽象性,使得学生对数学的学习畏惧三分.毫无疑问,解决之道是将这种高度抽象性的数学语言进行翻译,也就是要用通俗的语言进行描述,用形象生动的事例进行展示,降低其抽象程度,以便能让学生接受.具体来说就是在数学教学中,应该通过抽象概念形象化、抽象符号具体化、抽象问题情境化、抽象方法直观化、抽象表述通俗化等多种手段来适度降低其抽象程度.

一、数学概念的学习

概念产生于现实生活和生产实践的众多事例基础之上,然后抛弃他们的各自差异,抽象和概括出他们的共性.通过抽象得到数学的基本概念,这种抽象是一种从感性具体上升到理性具体的思维过程,所以对数学概念的学习应该从理性具体还原到感性具体,其次,对概念中的关键字词的内涵和外延要讲清楚.例如,对于直线概念,就要从学生常见并可以理解的实际背景出发,如从拉紧的线,笔直的旗杆和电线杆等事物中抽象出这个概念,说明直线概念是从许多实际原型中抽象出来的一个数学概念,但不要使这个概念的教学变成对直线的某一具体背景的探讨.不讨论它的长短、粗细等各个个体的差异,只讨论他们的共性.

二、数学语言,符号与具体化的互化

数学语言是表达数学思想的专门语言,具有抽象性、准确性、简约性和形式化等特点,数学语言分为符号语言、文字语言和图表语言,这三类语言之间相互转换,这三种语言在数学中广泛存在,它们各有自己的特点：自然语言是一般性的描述,通俗易懂；符号语言简捷,但比较抽象,不易被理解,符号语言也是狭义上的数学语言；而图像语言直观明了.根据它们之间的关系,就可以找到降低抽象性的途径,具体来讲,符号语言可具体化为自然语言,或者是转化为图像语言,例如,证明：对于任意实数x,y,不等式+≥成立.如果单纯从不等式证明的角度去思考,这个问题有些麻烦.如果对两点间距离公式熟悉的话,左边两个根式都可以看成是两点间距离,问题就迎刃而解了,用直观形象的图像语言表达符号语言,借助于式的逻辑推理和形的直观特性求解,即所谓的数形结合.这个事例是将符号语言具体化为自然语言,或者是转化为图像语言,反之,也可以从具体化的情况逐步过渡到抽象,例如,已知函数f（x）等于2x-3,求f（f（x））.有些学生就不知道怎么做,之所以出现这个问题,是由于学生对函数y等于f（x）概念不清楚,对于函数符号f（x）,教师可以从以下几个方面引导学生进行意义理解.第一,理解基本含义.f（x）是以x为自变量的一个函数,表示的是一个映射或对应关系f：x→f（x）.当f（x）等于2x-3（x∈R）,x等于a→f（a）等于2a-3.f（a）是函数在a处的函数值.第二,增强对“对应”的理解.f（x）表示的是括号中的对象与对应对象的一种对应关系,不管括号中的对象（自变量）取什么值,与其对应的都是在对应关系结构（如果关系是可以用数学式子表示的）中用这个值代替对象而得的值.如“x+1”对应的不是f（x）+1,而是f（x+1）等于2（x+1）-3.在此基础上,让学生思考f（1）等于?,f（2）等于?,f（a）等于?,f（m+1）等于?等,f（f（x））等于?,逐阶由具体过渡到抽象.

三、数学符号、数学语言的通俗化

数学语言及其自然语言之间的相互转换沟通是提高数学解题能力的正确途径.是寻求有效解题途径的方式.数学中每一个符号所表示的不是学生已经知道的日常观念,而是一个确定的数学概念,尽管它来源于现实世界的生产实践,但经过了多次抽象,对学生来说,就显得有点高深,心理距离就远了.自然语言是学生熟悉的,用这些语言来表达的事物,学生感到亲近,也容易理解.所以,数学教师应注意以自然语言为之解释,即将数学语言译为自然语言,也即通常说的“通俗化”,以帮助学生更好地理解.例如,已知函数f（x）等于x3-3x2-9x+8,x∈[-2,4],满足?坌x1,x2∈[-2,4],都有不等式|f（x1）-f（x2）|≤m成立,求m的最小值.许多学生对题目中的条件“?坌x1,x2∈[-2,4],都有不等式|f（x1）-f（x2）|≤m成立”表示什么意思不明白,将数学符号翻译成自然语言：对于区间[-2,4]内的任意两个变量x1,x2它们对应的函数值f（x1）,f（x2）之差的绝对值总是不超过实数m,问：m应该是什么样的数?将符号语言翻译成数学语言,固然降低了一些抽象性,但是其中涉及一些数学概念,数量关系,这些数学概念,数量关系意味着什么?如何转化?也是让一些学生头疼,再将抽象性进行通俗化,举身边事例进行类比,某班前几天进行一次数学检测,每个人都有自己的成绩,下面进行类比,区间[-2,4]是数的集合可以看成是某个班级,变量x1看作是班级的学生,f（x1）看作是这名学生的数学成绩,那么原题中的条件就可以这样来理解了：对于班级里的任意两名学生来说,他们的成绩之差总是不超过某个数m,那么这个是什么含义呢?显然满足这个条件的情况只能是这样的：只有班级中最好与最差成绩之差不超过某个数m时,那么班级里的任意两名学生的成绩之差才会不超过某个数m,所以原题中条件就转化为f（x）max-f（x）min≤m.

四、抽象解题方式的通俗化

不仅抽象的数学语言、数学符号可以通俗化,同样抽象的数学思想,解题方式也可以通俗化.例如,数学归纳法,我们知道数学归纳法一般用于解决与自然数有关的数学问题,用数学归纳法解决问题时要分成两步,其中第二步,检测设当n等于k时,命题成立,下面证明当n等于k+1时命题也成立.许多学生对数学归纳法原理不清楚,对“检测设”这个词也感到困惑,教师讲解这个词也费劲,这个时候,可以通过讲述这样一个浅显的事例来说明数学归纳法的原理,同时顺便就能理解“检测设”这个词的含义,一个人想攀登上有1000个台阶的山峰,那么,他具备什么条件就可以到达峰顶呢?满足两个条件就行,第一个条件,他要有能力迈上第一台阶.第二个条件,他能迈上第一个台阶就要有能力迈上第二个台阶,能迈上第二个台阶就要有能力迈上第三个台阶,能迈上第三个台阶就要有能力迈上第四个台阶等一直持续下去,这第二个条件换种说法就是,检测设他能迈上第k个台阶,就要求他能迈上第k+1个台阶.如此这样的话,他就可以登上每一个台阶,登上山顶.对照数学归纳法中两个步骤,就不难理解了,对于所有自然数,命题都成立.

当然,本文并非探讨如何解题,而是探讨如何降低学习数学的难度.如何降低数学的抽象程度呢?数学中种种解题方法,种种数学思想都应该选择一种让学生可以接受的方式介绍,但是不管是哪种方式,降低抽象性是个原则.笔者在此提出的一些浅见不过是挂一漏万,希望是起个抛砖引玉的作用.

【参考文献】

[1]史宁中.数学的抽象[J].东北师范大学学报,2008（5）.

[2]张楚廷.关于数学的抽象[J].湖南师范大学学报,1981（1）.