数学教学应该是自然的

2012年6月末,内蒙古自治区高中数学教师教学比赛在呼伦贝尔市海拉尔区举行,笔者听了其中12位参赛教师的课,受益匪浅.活动结束后,各位评委对参赛教师的课堂教学进行了精彩的点评,既肯定了成绩,又指出了值得改进的地方.笔者感到有些教师的课缺乏自然与和谐,所以对其中存在的一些问题,不避浅陋,也谈谈自己的看法和认识.

一、问题情境创设应该是自然的

教育学和心理学研究表明,当学习的材料与学生已有的知识和生活经验相联系时,学生对学习才会有兴趣.因此,好的问题情境的创设要从学生熟悉的现实生活和已有的知识经验出发.问题的难度要处于学生的“最近发展区”.本次教学比赛共涉及两个教学内容：一是两点间的距离；二是点到直线的距离（人教A）.怎样进行教学情境的创设呢?

【案例1】点到直线距离情境的创设

一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处,受影响的范围是半径长30km的圆形区域.已知港口位于台风正北40km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?（如图1）

这个问题可以转化为数学模型——直线和圆的位置关系,最终转化为点到直线的距离.这个问题情境的设计存在以下问题：

1.学生不熟悉.教师这样设计旨在体现数学源于生活的理念,把生活中的数学原型体现在课堂上.但是这个情境必须是学生所熟悉的.北方学生从没有见过台风,当教师展示情境的时候,我们看到很多学生表现的非常“茫然”,不解题意,最后还是教师代替学生完成了数学模型的构建.

2.不符合实际.生活是数学知识产生的源泉,当我们把现实生活中的实例“加工”成一个数学问题时,不能脱离实际,否则就是虚检测的情境.实际上,台风中心应该是运动的,而非静止的,其半径也是随着台风中心移动而发生变化的.

3.问题设置没在学生的“最近发展区”.好的问题情境的创设要从学生熟悉的现实生活和已有的知识经验出发.问题的难度要处于学生的“最近发展区”.最近发展区是什么?就是上节课的“两点间的距离”,即启发学生怎样把“点到直线的距离”转化成“两点之间的距离”.

对数学新知识的学习,创设情境是必要的,但情境创设的方法也是多样的.我们不能一味地追求情境“生活化”,把不恰当的例子强行嵌入到课堂教学中去.高中数学教学设计中,更多的是考虑到数学知识之间的内在联系,从数学内部的发生发展中进行情境的创设,这样才是生动的、自然的.

另外,有的参赛教师创设的“飞锁求学”、“通信问题”等情境也是不恰当的.

二、发现式教学应该是自然的

发现式教学法与讲授法互为补充,是数学教学中常用到的方法.但是很多参赛教师课前印发“学案”,要求学生预习,从而影响对问题的探究、猜想教学情境的创设,使教学变得很不自然,从而影响了课堂教学新异情境的创设.发现式教学成为一种形式.

数学概念的形成,公式、定理的探索与发现,其思维过程必须是自然的、和谐的,不能让学生感到,方法虽好,但像从天而降的神秘物.

【案例3】因为上节课学习了两点间的距离,本节点到直线的距离的教学,学生很容易想到转化为两点间的距离（如图2）,这种方法思路十分自然,但教材笔锋一转：这种方法具体运算较繁,下面我们采取另一种方法.结果讲这节课的教师也如法炮制,根本没有在学生进行体验的前提下,就像教材说的那样“采取另一种方法”.

当阅读教材看到这一段话时,我感到很突然,心想：为什么不让学生推导一下呢?学生没有经过运算,怎么知道“运算较繁”,只有学生经过运算后（无论成功与否）,就会体验到“繁”在何处：一是立方程求出垂足Q的坐标,二是代入两点间的距离公式并进行化简.教师要做的不是知“繁”而退,而应该是引导学生优化运算过程.

以上过程对点到直线的距离的推导过程进行了优化,用到了整体换元的方法,对垂足Q的坐标采用了“设而不求”的方法,达到了化繁为简、化难为易的目的.其思维过程要比教材中的“等积法”来得自然,学生也容易接受.

虽然这两个公式的推导方法很多,但如按照课标建议的1—2—3—4—5的顺序来讲,根据“最近发展区”理论,教材中的方法乃是推导两个公式的重要方法,甚至是首选的.但是我们课下从当地的老师那里了解到,海拉尔二中对必修课程是按照①④⑤②③的顺序来实施的,也就是说,学生已学习了三角函数、平面向量等知识,学生有的知识经验发生了变化,学生学习的“最近发展区”,与按照课标建议的1—2—3—4—5的顺序比较,显然宽了许多,那么再启发和引导学生对这两个公式进行推导时,若没有教师的“循循善诱”,多数学生首先想到的不一定是教材中提供的方法.事实上,当有的教师提问学生,还有哪些方法来推导公式时,很多学生想到了以下方法：

平面上两点之间的距离可用向量知识而得：

（3）概括用“坐标法”解平面几何问题的步骤.

2.点到直线的距离公式小结的设计如下：

（1）“点到直线的距离”与“两点间的距离”的推导过程有什么共同之处,都用到怎样的数学方法?

（2）你还有哪些地方没有学好,没有学会?

（3）点到直线的距离公式推导方法很多,有兴趣的同学请上网查阅,并进行整理,张贴到班级的学习园地中,与大家共享.

上面的设计针对性强,既有对本节课的总结,又有课后活动任务,因材施教,拓展了学生的学习空间,要比只让学生说“这节课你有什么收获”好得多!

北京师范大学教授刘绍学在普通高中课程标准实验教科书（人教A）的主编寄语中写道：数学是自然的,等其中的数学概念、数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的.如果有人感到某个概念不自然,是强加于人的,那么只要想一下它的背景、它的形成过程、它的应用,以及它与其他概念的联系,你就会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物,不仅合情合理,甚至很有人情味.刘教授的这段话给我们的启示是：我们的教学设计、问题情境的创设、展示知识的形成过程以及课堂小结等必须建立在充分了解新课程特点以及学生实际情况的基础上,它必须是和谐的、自然的.要做到这一点,教师必须在钻研教材、理解教材和深入了解学生实际学习情况上下功夫,这是当好数学教师的前提.