例微积分与中学数学解题

摘 要：论文主要研究运用微积分的思想和方法对高中数学中的不等式、方程的根、函数的变化性态和作图等进行探讨.微积分与初等数学有着不可分割的内在联系,运用微积分的思想和方法可以将初等数学问题看得更深刻、透彻.

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初等数学是高等数学的基础,二者有紧密的联系.俗话说“站得高才能看得远”,因此,中学教师除掌握中学数学中的概念、定理及各种题型的常用初等数学的解法外,还应善于运用高等数学方法解决中学数学问题,从而拓宽解题思路和技巧,提高教师专业水平,促进中学数学教学.微积分是高等数学的核心,将微积分的理论应用于初等数学,使其内在的本质联系得以体现,不仅可使解法简化,也能使问题的研究更为深入、全面.本文将通过实例就微积分的思想和方法对高中数学中的不等式、方程的根、函数的变化性态和作图等方面的应用进行初步探讨.

一、不等式的证明

例1.证明loga（a+b）>loga+c（a+b+c）（b>0,c>0,a>1）.

证明：设f（x）等于logx（x+b）,x>1,则：

f（x）等于,f`（x）等于.

而x+b>x>1,则ln（x+b）>lnx>0,故>.

所以f`（x）<0,f（x）为减函数,于是有f（a）>f（a+c）,即loga（a+b）>loga+c（a+b+c）.

特别地,当a等于2,b等于c等于1时,有log23>log34>log45>等

二、恒等式的证明

例2.试证当x≤-1时,有2arctanx+arcsin等于-π.

证明：当x等于-1时,等式显然成立.

当x<-1时,对等式左边求导数,得到：

所以,2arctanx+arcsin等于常数.

当x等于-3时,2arctan（-3）+arcsin等于-π.

故2arctanx+arcsin等于-π,∨x≤-1.

三、求曲线的切线方程

例3.设M（x0,y0）是椭圆+等于1上不是顶点的任一点,求过M点的切线方程.

在初等数学中往往这样去做：设所求切线方程为y-y0等于k（x-x0）,把它与椭圆方程联立后,令△等于0,求出k的值,从而求出切线方程.这样计算量会很大.

在微积分的基础上,由导数的几何意义和隐函数求导法,可以很容易地求得二次曲线的切线方程.

解：用隐函数求导法得到y`（x）|等于-,

所以,过M（x0,y0）的切线方程为y-y0等于（x-x0）,进一步整理得+等于1.

类似的方法可求得双曲线、抛物线的切线方程.

四、方程根的讨论

方程根的讨论在初等数学中处于很重要的地位,但有些题目技巧性很强,解决起来比较困难.方程f（x）等于0的根,实际上就是函数f（x）的零点.在微积分中,它的讨论可借助于零点定理、函数的单调性等.例如讨论a>0且a≠1时曲线y等于ax与y等于x的交点情况,问题转化后即为讨论a>0且a≠1时方程ax等于x的根,可设f（x）等于ax-x,然后研究f（x）的零点情况.

五、函数的变化性态及作图

函数的图象以其直观性有着别的工具不可替代的作用,特别是在说明一个函数的整体情况及其特性的时候,其作用尤为明显,因此正确地作出函数的图形至关重要.而中学数学中描点作图的过程是不精确的,有许多不足之处,点取得不够多,也许就会得到一个错误的图象；而如果点取得太多,那将花费过多的精力,而且仍会担心是否忽略了一些重要的点.例如,函数y等于的正确图形应为图1所示,而用描点法很可能画出图2的错误图形.

问题出在哪里?有了微积分的知识,我们知道问题出在没对函数的凹凸性进行考察.利用导数作为工具,就可有效地对函数的增减性、极值点、凹凸性等重要性态和关键点作出准确的判断,从而比较准确地作出函数图像.

事实上,微积分在初等数学中的应用是极其广泛的,将微积分的理论应用于初等数学,使其内在的本质联系得以体现,进而去指导初等数学的教学工作,是一个有待深入研究的课题.