数学思想方法在初中二次函数综合问题中的运用

摘 要：数形结合、方程与函数、建模思想、分类讨论、整体思想、转化化归以及待定系数法、配方法、消元法等都是初中阶段核心的思想方法.二次函数综合问题中,蕴含的数学思想方法集中,涉及到的知识点多,掌握思想方法,在解题中的运用技巧,整合所学的知识,能提高分析问题和解决问题的能力.

关 键 词：二次函数综合问题数学思想方法

中图分类号：G633.6文献标识码：C文章编号：1672-1578（2012）10-0087-02

函数是“数与代数”领域的核心内容,更是难点所在.二次函数综合问题中,蕴含的数学思想方法集中,涉及到的知识点多,能充分体现学生获取数学信息以及运用数学思想方法分析问题和解决问题的能力,因而成为广大师生关注的热点问题.解函数综合问题,要善于借助点的坐标将线段和函数解析式结合起来,通过计算和证明是正确求解的关键.本文以2011年施恩自治州中考数学题为例予以分析.

1数学实例

【题】：如图,在平面直角坐标系中,直线AC：y等于x+8与x轴交与点A,与y轴交与点C,抛物线y等于ɑx2+bx+c过点A、点C,且与x轴的另一交点为B（x0,0）,其中x0>0,又点P是抛物线的对称轴l上一动点.

⑴求点A的坐标,并在图1中的上找一点P0,使P0到点A与点C的距离之和最小；

⑵若△PAC周长的最小值为10+2,求抛物线的解析式及顶点N的坐标；

⑶如图2,在线段CO上有一动点M以每秒2个单位的速度从点C向点O移动（M不与端点C、O重合）,过点M作MH∥CB交x轴与点H,设M移动的时间为t秒,试把△P0HM的面积S表示成时间t的函数,当t为何值时,S有最大值,并求出最大值；

⑷在⑶的条件下,当S等于时,过M作x轴的平行线交抛物线于E、F两点,问：过E、F、C三点的圆与直线CN能否相切于点C?请证明你的结论.

解：⑴直线AC与x轴的交点为A,令y等于0得,x等于-6,即点

A（-6,0）；如图1,连接CB与直线l交于点P0即为所求.

⑵由⑴知,△P0AC的周长最小,得AC+BC等于10+2,直线AC与y轴交与点C,令x等于0得：y等于8,即点C（0,8）.故AC等于10,由此可得,x0等于10,即点B（10,0）；

∵抛物线过A、B、C三点,

∴100ɑ+10b+c等于036ɑ-6b+c等于0c等于8,解得ɑ等于-b等于c等于8

故抛物线的解析式为y等于-x2++8,配方得y等于-（x-2）2+,顶点N的坐标为（2,）.

⑶如图2,连接CH,由题意知CM等于2t,又∵MH∥CB,∴△OMH∽△OCB,∴等于,即等于,解得OH等于（8-2t）等于-t+10,

∴S等于S等于S△MHC等于CM·OH等于-t+10t等于-（t-2）+10

（0

∴当t等于2时,面积S的最大值为10.

⑷如图3,在⑶的条件下,当S等于时,过E、F、C三点的圆能与直线CN能相切于点C.

∵直线EF∥x轴且与抛物线交于E、F两点,

∴E、F两点的纵坐标相等,对称轴l与直线EF的交点O1是过E、F、C三点的圆的圆心.

设点O1（2,m）,则点E的坐标可设为（n,m）,由点E在抛物线上及O1E2等于O1C2得

m等于-n2+n+8①（2-n）2等于22+（8-m）2②

由①×（-）,得n2-4n等于60-m③

由②,得n2-4n等于64-16m+m2④

将③式代入④式,解得m等于或m等于8（舍去）.

当m等于时,CM等于2t等于8-,解得t等于.将t等于代入

S等于-t2+10t,得S等于,此时满足条件S等于.

当m等于时,O1N2等于（-）2等于.又O1C2等于,CN2等于（-8）2+22等于,则O1C2+CN2等于+等于,此时满足O1C2+CN2等于O1N2,即直线CN与圆O1相切.

∴当S等于时,过E、F、C三点的圆能与直线CN能相切于点C.

2例题数学思想方法

2.1数形结合的思想方法

此题第⑷小题由E（n,m）得到m等于-n2+n+8,考查点是“图形上点的坐标满足该图形的表达式”,其方法是将图形上点的坐标代入函数表达式,求出未知数或数量关系式；由O1E2等于O1C2得到（n-2）2等于22+（8-m）2,其方法是将线段用坐标值表示代入等式O1E2等于O1C2求出数量关系.这些都是由“形”的关系得到“数”的结论.由O1、C、N三点的坐标得到△O1CN是直角三角形,是由“数”的关系得到“形”的结论.由此可知,“形”的性质能直观地反映出“数”的本质,“数”的精确性又能阐明“形”的某种属性.

2.2一般化与特殊化的思想方法

此题第⑴、⑵小题在求点A、C的坐标时,因为点A、C分别在x轴和y轴上,而x轴上点的纵坐标和y轴上点的横坐标均为0,所以对直线AC的表达式令y等于0就可求得x等于-6、令x等于0就可求得y等于8,这就是特殊化的思想方法.第⑵小题在求抛物线的解析式时,将、、代入函数解析式（未给出应先设函数解析式）建立方程组,从而求出抛物线的解析式,这就是求函数解析式的一般方法（待定系数法）；掌握一般方法是教学的重点,但特殊方法比一般方法更快捷.

2.3分类讨论的思想方法

此题第⑷小题在求圆心O1的纵坐标m时,得到m等于或m等于8,通过讨论,当m等于8时,t等于0,此时点M与端点C重合且圆O1与直线CN有两个交点,因此不合题意应舍去.正确运用分类讨论的思想方法,既能避免产生错误的结果,又能防止正确结论的遗漏.

2.4整体代换的思想方法

此题第⑷小题在求圆心的纵坐标m时,将n2-4n等于60-m代入n2-4n等于64-16m+m2消元得到关于的一元二次方程,就运用了整体代换的思想方法.整体地处理相关知识点,可避免从局部入手带来的盲目性,使问题得到合理、简捷的解决方法.

2.5数学建模的思想方法

此题第⑴小题由点A、B关于抛物线对称,得到直线BC与对称轴的交点P0,就是通过建立几何模型获得解题思路；解第⑶小题时,能在变化中找出不变量是解题的关键.当点M移动时,由于P0点和MH∥CB是不变的,所以将求△P0HM的面积等价转化为求△CMH的面积.再由MH∥CB得到△OMH∽△OCB,求出△CMH的高OH,利用三角形面积公式建立S关于t的二次函数,最后用配方法将其构成顶点式-（t-2）2+10,根据0

2.6转化化归的思想方法

此题第⑷小题充分运用了转化化归的思想方法.为了证明直线CN与圆O1相切,先将其转化为证明∠O1CN等于90°,再将其转化为证明△O1CN是直角三角形,然后根据坐标的几何意义,把O1、C、N三点的坐标值与线段联系起来,运用勾股定理得到O1N2等于、O1C2等于和CN2等于,最后运用勾股定理的逆定理得到O1C2+CN2等于O1N2,从而证明了直线CN与圆O1相切于C点.显然,“转化”是寻求问题解决过程中最重要、最活跃的一个环节,是分析、解决问题的有效途径,合理的转化可以快速的形成解题思路.

数学思想方法是数学知识技能在更高层次上的抽象与概括,它能将零散的数学知识吸附起来,构建认知结构.数形结合、方程与函数、建模思想、分类讨论、整体思想、转化化归以及待定系数法、配方法、消元法等是初中阶段核心的思想方法,认真研究、分析此题,不仅能让我们体会到各种思想方法之间的联系,而且还可以品尝到各种思想方法在解题中的运用技巧,整合所学的知识,从而提高分析问题和解决问题的能力.