注重数学思想方法教学

摘 要 如果说数学源于人类社会发展的需要,那么数学思想和方法就是伴随着数学的发展而发展的.但是数学思想和方法的提出及研究却是随着数学教育的发展而逐步“热”起来的.本文从教学的角度关注数学思想方法,讨论了数学思想方法教学的概念、原则,并进行了实践分析.

关 键 词 数学 思想方法 教学

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2013）03-0043-02

数学思想,就是对数学知识和方法的本质的认识,它是数学科学和数学学科固有的,是数学的灵魂；所谓数学方法,就是解决数学问题的策略和程序,是数学思想的具体化反映,它是数学的根本.人们通常将数学思想和方法看成一个整体概念——数学思想方法.

数学方法论作为研究数学的发展规律、数学的思想、方法以及数学中发现、发明与创新等法则的一门新兴学科,在我国数学界,特别是数学教育界获得了广泛重视.这些工作直接推动了我国数学教育界开展数学思想、方法及其教学的研究,解决了不少教学实际问题,极大地推动了我国数学教育改革的进程,并成为我国数学教育一项独具特色而又富有深远意义的研究课题.

一、数学思想方法教学应该遵循的基本原则

(一)渗透性原则

所谓渗透,就是有机地结合数学知识的教学,采用教者有意、学者无心的方式,在多个场合反复向学生讲解诸如分类、转化、数形结合、函数等数学思想方法.通过逐步积累,让学生们对数学思想方法的认识由浅入深、由表及里,渐渐地达到一定的高度.因此,从学生的个别差异看,也存在着认识不同步的现象,所以数学思想方法的教学应以渗透性原则为主线.

(二)渐进性原则

渐进性原则有三方面的含义：渐进、反复和层次性.数学思想方法教学是融合在数学知识之中的,所以在数学教学中要不失时机地抓住机会,不断地一点一滴地再现有关数学思想方法,逐步地加深学生对数学思想方法的认识.

(三)明确性原则

当前,在数学各科,各年级的数学教材中,数学思想方法的内容很显薄弱,一些重要的数学思想方法都没有比较明确和系统地阐述.比如,数形结合法、类分法、化归思想等均蕴含在表层知识教学之中,隐藏于幕后.教师在适当时机,在教学中予以明确是必要的,也就是说,数学思想方法教学应以明确性原则为目标.

(四)系统性原则

数学思想方法的形成必须经过循序渐进的过程,经过反复提炼、归纳、概括,才能使大多数学生真正领会到.归纳概括既是数学思想方法又是数学思维方法,领会数学思想方法的主要手段是感知、归纳、概括,而掌握数学思想方法的深层目的又恰恰是为了创造性的培养,所以,能灵活运用归纳、概括达到具有独创性也就真正掌握了数学思想方法.因此,在数学思想方法教学中应以系统性原则为归宿.

二、数学思想方法教学的一些具体措施

几十年来,科学技术以空前的速度前进着；以计算机的运行为标志的信息时代,也是数学大发展的时代.为此,我们需要认真理清数学知识网络和数学思想方法体系,把握好几个重要途径.

(一)在知识发生过程中,适时渗透数学思想方法

对于学生来说,最常见的困难之源是：一项工作、一个发现、一个规律等很少以创始人当初所用的形式出现,我们教学工作的一项重要任务就是揭开数学这种严谨、抽象的面纱,将发现过程中的活生生的教学“反璞归真”地交给学生,让学生亲自参与“知识再发现”的过程,经历探索过程的磨砺,汲取更多的思维营养.

1.展开概念——不要简单给定义

概念是思维的细胞,是浓缩的知识点,是感性认识飞跃到理性认识的结果,而飞跃的实现要经过分析、综合、比较、抽象概括等思维的逻辑加工,依据数学思维方法的指导.心理学认为,人对事物的第一次接触是最敏感的,教学成功与否,关键是唤起对旧知识的回忆、搜索到新知识的清澈的源头,并通过事物的发生和发展过程的教学,掌握住活的数学概念.

2.延迟判断——不要过早地下结论

判断可以看作是压缩了的知识链,数学定理、性质、法则、公式、关系、规律等都是一个具体判断.教学中要引导学生积极参与这些结论的探索、发现、推导的过程,弄清每个结论的因果关系,从而使学生看到某个判断时,就象回忆自己参加有趣活动那样津津乐道.

3.激活推理——不要呆板地找关联

激活推理就是要使已有判断上下贯通、前后迁移、左右逢源,尽可能从已有判断生发众多的思维触觉,促成思维链条的高效运转,不断在数学思想方法指导下推出一个个新的判断、新的思维结果.

(二)通过小结提炼概括数学思想方法,有计划地安排数学思想方法教学的习题课

根据数学思想方法形成过程中的成熟程度可实施开设专题讲座课,讲清来龙去脉、内涵外延、作用功能等.这是使学生掌握数学思想方法,同时更进一步地认识外显形式的数学知识的有效途径.

1.定义法：A是n阶矩阵,A的伴随矩阵A*有行列式|A|的代数余子式所构成,即A*等于（Aji）n譶.在具体使用是要注意：

（1） 求个元素的代数余子式Aij时,切记各余子式前面的正负号；

（2） Aij应排在A※的第j行第i列上,即恰好是通常排序方式的转置形式.

在线性代数中,定义尤为重要.可以这样讲,定义在线性代数中居核心地位.有许多问题百思不得其解时都要回到定义上来,才能找到答案.因此说,定义既是线性代数问题的源泉又是其最终的归宿.

例1 设A是n阶矩阵,且A的秩R（A）

证 因为R（A）

2.公式法：A是n阶矩阵,关于A的伴随矩阵A*的基本关系式为 AA*等于A*A等于|A|E,其中E是n阶单位矩阵.

例2 设A是n阶矩阵,且A的秩R（A）等于n-1,求证：R（A*）等于1.

证 因为R（A）

3.化归法：教材中是在研究逆矩阵时给出伴随矩阵的概念的,并且给出了求逆矩阵方法之一“当n阶矩阵A可逆时,A-1等于A*”,由此可得出A*等于|A|A-1.也就是说,当A可逆时A※的问题可转化为逆阵来研究,因为A-1的性质相对来讲我们是比较熟悉的.

例3 设A是n阶矩阵,且A的秩R（A）等于n,求证：R（A*）等于n.

证 因为R（A）等于n,所以A可逆,|A|≠0.由AA*等于|A|E知,A和A*均是可逆阵,故R（A*）等于n.（或两边取行列式,得|A|·|A*|等于|A|n,于是|A*|等于|A|n-1≠0,即R（A*）等于n.）

4.论“秩”法：设A是n阶矩阵,则A*的秩只有三种取值.

例4 设A是n阶不可逆矩阵,|A|关于a11的代数余子式A11≠0.求齐次方程组A*x等于O的通解.

解：因为|A|等于0,A11≠0知R（A）等于n-1,那么R（A*）等于1.于是A*x等于O的解空间是n-1维.又因为AA*等于|A|E等于O知A等于（a1a2等an）的每一列都是方程组A*x等于O的解.由于n-1维向量（a22,a32,等,an2）T,（a23,a33,等,an3）T,等,（a2n,a3n,等ann）T线性无关,那么延伸为n维向量

a2等于（a12,a22,等,an2）T,a3等于（a13,a33,等,an3）T,等,an等于（a1n,a2n,等,ann）T仍线性无关,就是A*x等于O的基础解系.故通解是：k2a2+k3a3+等+knan,ki（i等于1,2,3）是任意实数.

(三)通过“问题解决”,概括和深化数学思想方法

问题是数学的心脏.数学问题的解决过程,实质是命题的不断变幻和数学思想方法反复运用的过程；数学思想方法则是数学问题解决的观念性成果,它存在于数学问题的解决之中,数学问题的步步转化无不遵循数学思想方法指示的方向.因此,通过问题解决构造数学模型、提供数学想象,伴以实际操作,诱发创造动机,不断在学数学、用数学的过程中引导学生学习知识、掌握方法、形成思想,促进思维能力的发展.

数学思想方法是数学思维的内核,它比具体的数学知识具有更大的抽象性和概括性,很难找到固定的形式,只能体现为一种意识或观念.因此,它不是一招一式、一朝一夕可以完成的,而是日积月累,长期渗透,才能水到渠成.

在进行数学思想方法教学的时候,教师千万不要包办代替,应当把“球”交给学生,让他们自己去“踢”.“思想应在学生的头脑中产生,而教师的活动象个助产士”,才符合学生认知发展的序.