利用函数的凹凸性证明不等式

【摘 要 】利用函数的凹凸性证明不等式是不等式证明中的一个重要方法,本论文通过选择适当的例题总结出如何利用函数的凹凸性来证明不等式的一般方法与思路.

【关 键 词 】不等式 证明 函数凹凸性

引言

在数学中我们所遇到的不等式已经很多,且个别的不等式证明比较复杂,而不等式的证明方法是我们必须掌握的一个重要部分.不等式的证明方法有很多种,其中利用函数的凹凸性证明不等式的方法是数学研究中常用的,也是我们重点要掌握的方法.本文将通过具体的例题详细地总结归纳出如何利用函数的凹凸性证明不等式的具体方法、步骤及思路.

定义：设函数f(x)为定义在区间I上的函数,若对I上任意两点x1、x2和任意实数λ∈(0,1)总有：f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2),则称f为I上的凸函数,反之,如果总有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2),则称f为I上的凹函数.

凸函数的特征

引理：f为I上的凸函数对于I上任意三点总有x1＜x2＜x3：

f(x2)-(x1)/x2-x1≤f(x3)-(x2)/x3-x2

严格凸函数上式严格不等式成立.

证明见文献[1].

定理3 设为f(x)区间l上的可导函数,则以下论断等价：

1.f(x)为l上的凸函数；

2.f(x)为l上的增函数；

3.对l上的任意两点x1,x2,有f(x2)≥(x1)+f′(x1)(x2-x1).

定理4 设f为区间l上的二阶可导函数,则在l上f为凸（凹）函数的的充要条件是 f″(x)≥0(f″(x)≤0),x∈l.

证明：f″(x)≥0、f′(x)为增函数,f(x)为l上的增函数f(x)为l上的凸函数(根据定理3),同理f为l上的凹函数f″(x)≤0.

詹森(Jensen)不等式：若f为［a,b］上的凸函数,则对任意的x2∈［a,b］,λ2∈(1,2等n),∑λ2等于1有f(∑λ2x2)≤∑λ2(f2)；若f为严格凸函数,不全相等,x2(ī等于1,2等n)则上式严格不等式成立.

证明见文献[1].

注：詹森不等式实质上是凸函数定义的一般情况.

例1：证明x＞0,y＞0：当时,x1nx+y1ny＞(x+y)ln x+y/2.

分析：这是一个函数不等式,但其含有两个变量,对不等式作简单变形,不等式等价于：x1nx+y1ny/2＞(x+y)/2 1n x+y/2,不等式两边含有相同“形式”：tlnt,故可设辅助函数f(t)等于tlnt(t＞0).

因此原不等式可化为f(x)+f(y)/2＞f (x+y)/2,见到这个形式不难想到函数的凹凸性定义及与凹凸性有关的一些定理来证明了.

证明（定义证明法）：设f(t)等于tlnt(t＞0).

有f′(t)等于1nt+1,f″(t)等于1/t＞0,（t＞0）,则f(t)在(0,+∞)为凸函数.

对任意x＞0,y＞0(x≠y),有f(x)+f(y)/2＞f (x+y)/2(取λ等于1/2).

(要使f(x)与g(x)的系数相同,当且仅当λ等于1-λ时成立,即λ等于1/2).

因此x1nx+y1ny＞(x+y)1n x+y/2,继续看一个例题.

例2 用凸函数的概念证明不等式：对任意实数a,b,有e a+b/2≤1/2(ea+eb)

分析：再仔细观察此不等式,可变形为e 1/2a+(1-1/2)b≤1/2ea+(1-1/2)eb：与凸函数的定义式f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)相似,令F(x)等于ex,x1等于a,x2等于b,λ等于1/2,利用凸函数的性质就可以证明了,利用凹凸函数的性质证明不等式也需要构造辅助函数,由定义知不等式是同一函数在不同点处的函数值,这就告诉我们只需要从不等式的一边出发就可以得到辅助函数.然后用定理4或定理3判断函数的凹凸性,再根据具体的不等式在其定义域内选择适当的两点x1,x2以及所需的λ值即可证明.

证法（利用函数的凹凸性证明）

设F(x)等于ex,由于f″(x)等于ex＞0,故函数F(x)在(-∞,+∞)上为凸函数.

对任意的a,b∈(-∞,+∞),取λ等于1/2有F(1/2 a+1/2 b)≤1/2 F(a)+(1-1/2)F(b),即e 1/2(a+b)≤1/2 (ea+eb).

例3利用凸函数的知识求证

λ1a1+λ2a2 +等+λnan ≥aλ1aλ2 ≤aλ,

其中aj≥0,λi＞0,j等于1,等,n,λ1 +λ2+λn等于1. .

分析：本题也是数值不等式,但其类型与前面几道例题有明显的区别,即不等式左边是n个代数式相加的形式,且∑λ2 等于1,由此我们自然想到了凸函数定义的一般情况,即詹森不等式,其应用相当广泛.但本题的辅助函数不象上题那么容易构造,将原不等式两边取对数变形为：1n(λ1a1 +λiai+等+λnan)≥λ11na1

+λ21na2+等+λn1nan

即 1n(∑λiai)≤∑λi 1n ai,所以辅助函数为f(x)等于1nx,然后判断其凹凸性即可证明了.

证明：令f(x)等于1nx,x∈(0,-∞),于是f′(x)等于1/x,有f″(x)等于-1/x2＜0,x∈(0,+∞),于是-f(x)是(0,+∞)上的凸函数,即有-1n(λ2a12+λiai+等+λnan)≤-λ11na1-λ21na2 -等-λn1nan等于-1n(aλ1等aλ2)

即有λ1a1+λ2a2+等λnan≥aλ1

aλ1aλ2等aλ

综上,若证明的不等式的两边或一边是同一函数在不同点处函数值的叠加,则一般需通过将不等式适当变形构造辅助函数,利用凹凸性证明之.

总之,在掌握函数的凹凸性定理反映了二阶可导函数的二阶导数符号与凹凸函数之间的关系的基础上,通过具体的例题总结出利用函数的凹凸性定义及与凹凸性有关相关定理证明不等式的方法及步骤：（1）定义证明法：将不等式写成定义的形式,构造辅助函数f(x),并讨论f(x)在所给区间上的凹凸性；（2）詹森不等式法：对一些函数值的不等式,构造凸函数,应用詹森不等式能快速证此类不等式；值得注意的是：当不等式可写成凹凸函数定义的形式或对一些函数值和且能够构造凸函数的不等式.

结束语到此为止通过具体例题的解法,详细阐述了利用函数的凹凸性证明不等式的具体方法、步骤及思路.但不等式的证明方法繁多,难度、技巧性也较大.比如：导数定义法、拉格朗日中值定理法、柯西中值定理法、泰勒公式法、幂级数展开式法、定积分理论法、参数法等等.应用这些方法来证明不等式将在以后的工作和学习中不断地总结归纳,拓宽知识面,提高自己的解题能力.