极限思想综述

【摘 要 】极限思想谈的是数学中的思维问题,它的使用广泛是由数学本身的发展所决定的．本文以数学发展史为基础,从一些典型例子中寻找极限思想的诞生与发展,以及中国古代极限思想成就．主要是以历史辩证唯物主义观来重新分析、概述一下有关的极限思想的问题.

【关 键 词 】极限 思想 应用

【作者简介】陈岩：女, 长春师范学院数学学院 130000 1982年5月,吉林省辽源市助教

周晨星：长春师范学院数学学院职称：讲师 1962年2月生,辽宁义县人,研究方向计算数学

在现代初等数学教学中,越来越多的涉及到极限的相关内容,因此极限思想的发展和应用也越来越受到重视.

极限思想的发展史

1.1极限思想――实践的产物

思维的诞生与发展无非是要经历这样一个过程,首先,在一些实际生活例子当中出现相关的思想,经过长期的研究与发展,最终产生具体的定义,随之进一步发展、探究,有了较为系统的认识.与一切科学方法一样,极限思想也是社会实践的产物.

极限法的思想可以追溯到古代．刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始极限观念的应用.古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想,但由于希腊人“对无限的恐惧”,他们避免明显地“取极限”,而是借助于简接证法──归谬法完成有关证明.

到了16世纪,荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法,他借助几何直观,大胆地运用极限思想思考问题,放弃了归缪法证明步骤.这样,他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用的概念的方向”.

极限思想的进一步发展与微积分的建立有紧密联系.16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期,生产力得到很大的发展,生产和技术中大量的问题,只用初等数学的方法已无法解决,要求数学突破只研究常量的传统范围,而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具,这是促进极限发展、建立微积分的社会背景.

起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分,后来因遇到了逻辑困难,所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想.牛顿用路程的改变量ΔＳ与时间的改变量Δt之比ΔＳ／Δt表示运动物体的平均速度,让Δt无限趋近于零,得到物体的瞬时速度,并由此引出导数概念和微分学理论.他意识到极限概念的重要性,试图以极限概念作为微积分的基础.他说：“两个量和量之比,如果在有限时间内不断趋于相等,且在这一时间终止前互相靠近,使得其差小于任意给定的差别,则最终就成为相等.”但牛顿的极限观念也是建立在几何直观上,因而他无法得出极限的严密表述.牛顿所运用的极限概念,只是接近于下列直观性的语言描述：“如果当n无限增大时, 无限地接近于常数Ａ,那么就说 以Ａ为极限.”

这种描述性语言,人们容易接受,现代一些初等的微积分读物中还经常采用这种定义.但是,这种定义没有定量地给出两个“无限过程”之间的联系,不能作为科学论证的逻辑基础.

正因为当时缺乏严格的极限定义,微积分理论才受到人们的怀疑与攻击,例如,在瞬时速度概念中,究竟Δt是否等于零如果说是零,怎么能用它去作除数呢如果它不是零,又怎么能把包含着它的那些项去掉呢?这就是数学史上所说的无穷小悖论.英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈,他说微积分的推导是“分明的诡辩”.贝克莱之所以激烈攻击微积分,一方面是为宗教怎么写作,另一方面也由于当时的微积分缺乏牢固的理论基础,连牛顿自己也无法摆脱极限概念中的混乱.这个事实表明,弄清极限概念,建立严格的微积分理论基础,不但是数学本身所需要而且有着认识论上的重大意义.

1.2极限思想的完善

极限思想的完善与微积分的严格化有密切联系．在很长一段时间里,微积分理论基础的问题,许多人都曾尝试解决,但都未能如愿以偿.这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量,而人们对变量数学特有的规律还不十分清楚,对变量数学和常量数学的区别和联系还缺乏了解,对有限和无限的对立统一关系还不明确.这样,人们使用习惯了的处理常量数学的传统思想方法,就不能适应变量数学的新需要,仅用旧的概念说明不了这种“零”与“非零”相互转化的辩证关系.

到了18世纪,罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念,并且都对极限作出过各自的定义.其中达朗贝尔的定义是：“一个量是另一个量的极限,检测如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量.”它接近于极限的正确定义,然而,这些人的定义都无法摆脱对几何直观的依赖.事情也只能如此,因为19世纪以前的算术和几何概念大部分都是建立在几何量的概念上面的.

到了19世纪,法国数学家柯西在前人工作的基础上,比较完整地阐述了极限概念及其理论,他在《分析教程》中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值,最终使变量的值和该定值之差要多小就多小,这个定值就叫做所有其他值的极限值.”特别地,当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0,就说这个变量成为无穷小.

柯西把无穷小视为以0为极限的变量,这就澄清了无穷小“似零非零”的模糊认识,这就是说,在变化过程中,它的值可以是非零,但它变化的趋向是“零”,可以无限地接近于零.柯西试图消除极限概念中的几何直观,作出极限的明确定义,然后去完成牛顿的愿望.但柯西的叙述中还存在描述性的词语,如“无限趋近”、“要多小就多小”等,因此还保留着几何和物理的直观痕迹,没有达到彻底严密化的程度.

为了排除极限概念中的直观痕迹,维尔斯脱拉斯提出了极限的静态的定义,给微积分提供了严格的理论基础.就是指：“如果对任何ε＞0,总存在自然数Ｎ,使得当n＞Ｎ时,不等式｜ －Ａ｜＜ε恒成立.”

这个定义,借助不等式,通过ε和Ｎ之间的关系,定量地、具体地刻划了两个“无限过程”之间的联系.因此,这样的定义是严格的,可以作为科学论证的基础,至今仍不显得陈旧.

综上所述可见,极限思想的引入与完善是出于社会实践的需要,是几代人奋斗的结果,不是哪一个数学家苦思冥想出来的.

2中国极限思想的成就

刘徽是中国数学史上一位非常伟大的数学家,他的数学成就已得到国际的承认,但令人遗憾的是,历史上却没有留下有关他的详细生平史料.对于他的一生经历我们所知甚少,而且没有定论.根据一些零星的记载,只能大致推断他的生活年代主要是在三国时期.其出生地大约为今山东淄博市淄川.然而这些方面的缺失也许并没有那么重要,因为他有自己伟大的数学成就留传于世,对于一个数学家而言,还有什么比这更重要、更令人欣慰的呢?他不仅是中国传统数学诸多知识与成果的继承者和创造者,也是中国传统数学的奠基者.从对数学贡献的角度来衡量,刘徽应该与欧几里德、阿基米德等相提并论.刘徽的《九章算术注》蕴涵了自己独特的数学创见,奠定了中国古典数学理论的基础,标志着中国传统数学完成了由感性向理论、由或然性向必然性的升华.在《九章算术注》中,刘徽建立的割圆理论独创性地运用了极限思想,在中国乃至世界数学史上影响深远.故《九章算术注》显著体现了刘徽深邃的数学思想,而其中极限思想可以说是最为成功的一个分枝.

刘徽在幼年时就学习过《九章算术》,成年后又继续深入研究,在魏景元四年(263)注《九章算术》,并撰《重差》作为《九章算术注》第十卷.刘徽的数学成就完整地保留在他为《九章算术》所作的注释中.可以说,刘徽对《九章算术》的注解是我国古代数学上的又一伟大成就.在刘徽注中有着丰富多彩的创见与发明.

他的割圆术思想是现代人经常引用的伟大成果之一．这是他创造的一种运用极限思想证明圆面积公式的方法.他首先从圆内接正6边形开始割圆,依次得正12边形、正24边形等,割得越细,正多边形的面积与圆面积之差越小,“割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”

这一思想又提供了计算圆周率的科学方法,按照上述的思想方法,刘徽循序渐进,锲而不舍,一直计算到了圆内接正3072边形,终于求得了圆周率π等于3.14和π等于3.1416这两个较为精密的近似数值．正是他提出的计算圆周率的方法,使后来的祖冲之能够进一步将圆周率可靠数字推进到八位．奠定了此后千余年中国圆周率计算在世界上的领先地位．这种将无穷小分割方法与极限思想引入数学证明,以现代的观点看,是刘徽最杰出的贡献.可以说,刘徽的极限思想的深度超过古希腊的同类思想.

他的另一项著名成果是利用极限思想解决球体积问题．但他自己未能完全解决这一问题.他表示“以俟能言者”,充分显示了一位伟大学者寄希望于后学的坦荡胸怀.二百年后,祖冲之父子在刘徽研究的基础上,得出了正确的球体积公式．祖冲之父子也是我国历史上重要的数学家.他们的重要著作《缀术》一书由于内容过于深奥而失传．他们的数学贡献可以确信的有两项：一是关于圆周率的研究；一是关于球体积公式.而这两项成果都是建立在刘徽的研究基础之上的.由此可见刘徽极限思想对后世数学的影响.事实上,刘徽的数学成果还不止于此．在线性方程组解法中,他创造了解线性方程组的互乘相消法与方程新术.在对分数、负数、无理数问题上他都提出了一些斟知灼见.

简而言之,刘徽沿袭我国古代的几何传统,使之趋于完备,形成具有独特风格的几何体系．如果说《九章算术》本身建立了中国古代数学理论的框架,刘徽《九章算术》注的出现,标志着中国古写作技巧论体系的完成．刘徽的数学之树是在《九章算术》的数学框架基础上加以改造,注入了血肉和灵魂,形成了一个以计算为中心,以演绎推理为主要逻辑方法的理论系统.

极限思想的发展应该说是相对顺利的,犹如一块深藏的宝玉,被科学家一点一滴的发现,使它更加完美,也加怎么写作于人.正如开篇提到的,思维的诞生与发展无非是要经历一个过程,我们只是很肤浅的从一个视角去简单的了解一下这个过程,对其进行一下叙述,让人能更加深刻的了解极限,了解极限思想的发展.可以说任何一种事物如果说它有其自身的价值,那就要有其自身的应用,通过收集、整理材料,发现极限思想有着极其广泛的应用,也是自己认识到还有很多相关的东西需要进一步去学习,所以,知识是没有尽头的,我相信自己会继续对一些有研究价值的学术知识进行探究,努力把知识运用于实际,让它更好的怎么写作于社会.

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